hatum!

la generacion del milenio. quienes son y como atraerlos y reclutarlos
PROBLEMA 1
Parte i.
Primero es importante recalcar que la función en cuestión, es la definición de norma p.
Para demostrar que dicha sumatoria es una norma, debemos demostrar que se cumplen los tres axiomas de norma:
1.1∥x∥>0⇔x≠0
1.2∥x∥=0⇔x=0
2.∥α⋅x∥=|α|⋅∥x∥
3.∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥
1. Este axioma se cumple dadoque |x_i |≥0.
2. ∥α⋅x∥=|α|⋅∥x∥
〖‖∝x‖_p=(∑_(i=1)^n▒|∝x_i |^p )〗^□(1/p)=(|∝|^p ∑_(i=1)^n▒|x_i |^p )^□(1/p)=|∝|(∑_(i=1)^n▒|x_i |^p )^□(1/p)=|∝| ‖x‖_p
3. ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
Tenemos p y q tal que 1/p+1/q=1 (exponentes duales). Y dado dos números reales a,b>o, se cumple:
a^(1/p) b^(1/q)≤a/p+b/q
Tomemos como a y b:
a=|x_i |^p/(‖x‖_p^p ) ,b=|y_i |^q/(‖y‖_q^q )
Y obtenemos:
|x_i |/‖x‖_p |y_i|/‖y‖_q ≤1/p |x_i |^p/(‖x‖_p^p )+ 1/q |y_i |^q/(‖y‖_q^q )
Aplicamos sumatoria…
1/(‖x‖_p ‖y‖_q ) ∑_i▒|x_i ||y_i | ≤1/p+1/q=1
Luego aplicamos sumatorias a la siguiente desigualdad para obtener la desigualdad de Minkowski
|x_i+y_i |^p≤|x_i | |x_i+y_i |^(p-1)+|y_i | |x_i+y_i |^(p-1)
Para obtener
∑_i▒|x_i+y_i |^p ≤∑_i▒〖|x_i | |x_i+y_i |^(p-1) 〗+∑_i▒|y_i | |x_i+y_i |^(p-1)

Luego aplicando 2veces la desigualdad de minkowski
∑_i▒|x_i+y_i |^p ≤‖x‖_p ‖(x+y)^(p-1) ‖_q+‖y‖_p ‖〖(x+y)〗^(p-1) ‖_q
Y lo reescribimos
‖x+y‖_p^p≤(‖x‖_p+‖y‖_p ) ‖〖(x+y)〗^(p-1) ‖_q
Y al ser duales los exponentes
‖z^(p-1) ‖_q=(∑_i▒|z_i |^(p-1)q )^□(1/q)=(∑_i▒|z_i |^p )^□(1/q)=‖z‖_p^(p⁄q)
Obteniendo finalmalmente
‖x+y‖_p^p≤(‖x‖_p+‖y‖_p ) ‖(x+y)‖_p^(p-1)
Quedando demostrada la desigualdad triangular.Parte ii.
Estas normas (norma del supremo y norma euclidiana) se demuestra de la misma forma que la norma p, pero el procedimiento es mucho más simple.

1.1∥x∥>0⇔x≠0
1.2∥x∥=0⇔x=0
2.∥α⋅x∥=|α|⋅∥x∥
3.∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥
Euclidiana:
1. ‖x‖=√(x_1^2+⋯+x_n^2 )≥0
Ya que la raíz siempre es positiva
2. ‖∝x‖=√(〖(∝x_1)〗^2+⋯+〖(∝x_n)〗^2 )=√(∝^2 x_1^2+⋯+∝^2 x_n^2 )=√(∝^2 (x_1^2+⋯+x_n^2))=√(∝^2 )√(x_1^2+⋯+x_n^2 )=|∝|‖x‖
3. ‖x+y‖^2=〖(x_1+y_1)〗^2+⋯+(x_n+y_n )^2=x_1^2+2x_1 y_1+y_1^2+⋯+x_n^2+2x_n y_n+y_n^2=x_1^2+⋯+x_n^2+2(x_1 y_1+⋯+x_n y_n )+y_1^2+⋯+y_n^2=‖x‖^2+2(x_1 y_1+⋯+x_n y_n )+‖y‖^2
Luego aplicamos CBS
x_1 y_1+⋯+x_n y_n≤‖x‖‖y‖
Obteniendo…
‖x‖^2+2(x_1 y_1+⋯+x_n y_n )+‖y‖^2≤‖x‖^2+2‖x‖‖y‖+‖y‖^2=[‖x‖+‖y‖]^2
Por lo tanto ‖x+y‖^2≤[‖x‖+‖y‖]^2 , luego aplicamos raíz:
‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖

PROBLEMA 1
Partei.
Primero es importante recalcar que la función en cuestión, es la definición de norma p.
Para demostrar que dicha sumatoria es una norma, debemos demostrar que se cumplen los tres axiomas de norma:
1.1∥x∥>0⇔x≠0
1.2∥x∥=0⇔x=0
2.∥α⋅x∥=|α|⋅∥x∥
3.∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥
1. Este axioma se cumple dado que |x_i |≥0.
2. ∥α⋅x∥=|α|⋅∥x∥
〖‖∝x‖_p=(∑_(i=1)^n▒|∝x_i |^p )〗^□(1/p)=(|∝|^p ∑_(i=1)^n▒|x_i |^p)^□(1/p)=|∝|(∑_(i=1)^n▒|x_i |^p )^□(1/p)=|∝| ‖x‖_p
3. ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
Tenemos p y q tal que 1/p+1/q=1 (exponentes duales). Y dado dos números reales a,b>o, se cumple:
a^(1/p) b^(1/q)≤a/p+b/q
Tomemos como a y b:
a=|x_i |^p/(‖x‖_p^p ) ,b=|y_i |^q/(‖y‖_q^q )
Y obtenemos:
|x_i |/‖x‖_p |y_i |/‖y‖_q ≤1/p |x_i |^p/(‖x‖_p^p )+ 1/q |y_i |^q/(‖y‖_q^q )
Aplicamos sumatoria…
1/(‖x‖_p ‖y‖_q )∑_i▒|x_i ||y_i | ≤1/p+1/q=1
Luego aplicamos sumatorias a la siguiente desigualdad para obtener la desigualdad de Minkowski
|x_i+y_i |^p≤|x_i | |x_i+y_i |^(p-1)+|y_i | |x_i+y_i |^(p-1)
Para obtener
∑_i▒|x_i+y_i |^p ≤∑_i▒〖|x_i | |x_i+y_i |^(p-1) 〗+∑_i▒|y_i | |x_i+y_i |^(p-1)

Luego aplicando 2 veces la desigualdad de minkowski
∑_i▒|x_i+y_i |^p ≤‖x‖_p ‖(x+y)^(p-1) ‖_q+‖y‖_p ‖〖(x+y)〗^(p-1) ‖_qY lo reescribimos
‖x+y‖_p^p≤(‖x‖_p+‖y‖_p ) ‖〖(x+y)〗^(p-1) ‖_q
Y al ser duales los exponentes
‖z^(p-1) ‖_q=(∑_i▒|z_i |^(p-1)q )^□(1/q)=(∑_i▒|z_i |^p )^□(1/q)=‖z‖_p^(p⁄q)
Obteniendo finalmalmente
‖x+y‖_p^p≤(‖x‖_p+‖y‖_p ) ‖(x+y)‖_p^(p-1)
Quedando demostrada la desigualdad triangular.


Parte ii.
Estas normas (norma del supremo y norma euclidiana) se demuestra de la misma forma que...