Hiperesferas
Páginas: 5 (1029 palabras)
Publicado: 1 de febrero de 2016
Volúmenes de Hiperesferas
Proyecto de Calculo 3
Isaac Carpio, Alvaro Leal y Luis Espindola
10 de diciembre de 2015
Resumen
En este proyecto encontramos formulas para el volumen encerrado por una hiperesfera en el
espacio n-dimensional.
1.
Introducción
En este proyecto se usara Vn para denotar tanto el volumen n-dimensional de la hiperesfera
n-dimensional. Una n-esfera o hiperesfera se definecomo una generalización de la mima esfera a
un espacio euclideo de dimensión n. Es decir que una hiperesfera es una hipersuperficie del espacio
euclideo Rn+1 , de notada en general por Sn . Representa el ejemplo más sencillos de variedad
matemática en espacios en mas allá de la tercera dimension.
Figura 1: Representacion de una Hiperesfera.
1
2.
Formulas
Para realizar los cálculos se debeusar la formula 64 del libro de la tabla de integrales que es:
cos2 udu =
3.
1
1
u + sin 2u + C
2
4
Desarrollo
3.1.
Parte 1
Utilice una integral doble y sustitución trigonométrica, junto con la formula 64
de la tabla de integrales, para encontrar el área de un circulo con radio r.
El interior del circulo es el conjunto de puntos tal que: (x, y) | − r ≤ y ≤ r, − r2 − y 2 ≤ x ≤ r2 − y 2 .
A partirde esto substituimos y = r sin θ y luego usamos la formula 64 del libro para calcular
la integral siguiente:
√
r
V2 =
−r
−
r 2 −y 2
√
r
π/2
r2 − y 2 dy =
2∗
dxdy =
r 2 −y 2
2∗r∗
−r
1 − sin2 θ ∗ r cos θ sin θ
−π/2
π/2
= 2r2
1
1
θ + sin 2θ
2
4
cos2 θdθ = 2r2
−π/2
Este resultado se evalúa entre los limites de − π2 hasta
= 2r2
π
2
dando como resultado:
π
2
= πr2
3.2.
Parte 2Use una integral triple y sustitución trigonométrica para encontrar el volumen
de una esfera con radio r. En esta segunda parte tomamos en cuenta la siguiente regio
de integración para poder evaluar la integral:
√
√
(x, y, z) | − r ≤ z ≤ r, − r2 − z 2 ≤ y ≤ r2 − z 2 , − r2 − z 2 − y 2 ≤ x ≤ r2 − z 2 − y 2
√
luego substituimos y = r2 − z 2 (sin θ) e integramos mediante la formula 64 el cos2 θ.Dando
como resultado:
√
r
V3 =
−r
√
r 2 −z 2
√
− r 2 −z 2
−r
−
r 2 −z 2 −y 2
√
dxdydz =
r 2 −z 2 −y 2
r 2 −z 2
√
− r 2 −z 2
−r
2∗
r2 − z 2 − y 2 dydz
π/2
2∗
=
r
√
r
1 − sin2 θ ∗ ( r2 − z 2 ∗ cos θdθ)dz
r2 − z 2 ∗
−π/2
r
π/2
r2 − z 2 dz
=2∗
cos2 θdθ
−r
−π/2
Al final se calcula y se obtiene el siguiente resultado:
=2
4 ∗ r3
3
=
2
r3 4π
3
∗
π
2
3.3.
Parte 3
Empleeuna integral cuádruple para encontrar el hipervolumen encerrado por la
hiperesfera x2 + y 2 + z 2 + w2 = r2 en R2 (Utilice solo sustitución trigonométrica y
las formulas de reducción sinn xdx o cosn xdx
√
En esta tercera parte empezamos a sustituyendo y = r2 − w2 − z 2 (sin θ) y luego substituimos w = r sin φ.
π/2
sen2k xdx =
0
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k − 1) π
2 · 4 · 6 · · · · · 2k 2
y
π/2sen2k+1 xdx =
0
2 · 4 · 6 · · · · · 2k
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k + 1)
Después se deduce que por la simetría del coseno y del seno se obtiene:
π/2
π/2
cos2k xdx = 2
sen2k xdx =
−π/2
0
π/2
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k − 1)π
2 · 4 · 6 · · · · · 2k
π/2
cos2k+1 xdx = 2
sen2k+1 xdx =
−π/2
0
(1)
2 · 2 · 4 · 6 · · · · · 2k
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k + 1)
(2)
Entonces se obtiene lo siguiente:
√
r
V4 =
−r−r
√
− r 2 −w2 −z 2
√
√
r 2 −w2
√
− r 2 −w2
√
=2
−r
√
− r 2 −w2
−π/2
= 2[
−
−r
r
−r
3.4.
√
− r 2 −w2 −z 2
π/2
√
r
√
−
r 2 −w2 −z 2 −y 2
√
dxdydzdw
r 2 −w2 −z 2 −y 2
r 2 −w2 −z 2
r 2 −w2
r
= 2(π/2)[
r 2 −w2 −z 2
√
− r 2 −w2
r
=2
√
r 2 −w2
r2 − w2 − z 2 − y 2 dydzdw
(r2 − w2 − z 2 )cos2 θdθdzdw
r 2 −w2
√
π/2
(r2 − w2 − z 2 )dzdw][
r 2 −w2
cos2 θdθ]
−π/2
π/2
3
44 2
(r − w2 ) 2 dw] = π( )
3
3
r4 cos4 φdφ =
−π/2
r4 π2
4π 4 (1)(3)(π)
r ∗
=
3
(2)(4)
2
Parte 4
Utilice una n-triple integral para encontrar el volumen encerrado por una hiperesfera de radio r en el espacio n-dimensional Rn . [Sugerencia: las formulas son
diferentes para n par y n impar.] Usamos una substitución de x
xi =
r2 − x2n − x2n−1 − · · · − x2i+1 cosθi
Después usamos las formulas...
Proyecto de Calculo 3
Isaac Carpio, Alvaro Leal y Luis Espindola
10 de diciembre de 2015
Resumen
En este proyecto encontramos formulas para el volumen encerrado por una hiperesfera en el
espacio n-dimensional.
1.
Introducción
En este proyecto se usara Vn para denotar tanto el volumen n-dimensional de la hiperesfera
n-dimensional. Una n-esfera o hiperesfera se definecomo una generalización de la mima esfera a
un espacio euclideo de dimensión n. Es decir que una hiperesfera es una hipersuperficie del espacio
euclideo Rn+1 , de notada en general por Sn . Representa el ejemplo más sencillos de variedad
matemática en espacios en mas allá de la tercera dimension.
Figura 1: Representacion de una Hiperesfera.
1
2.
Formulas
Para realizar los cálculos se debeusar la formula 64 del libro de la tabla de integrales que es:
cos2 udu =
3.
1
1
u + sin 2u + C
2
4
Desarrollo
3.1.
Parte 1
Utilice una integral doble y sustitución trigonométrica, junto con la formula 64
de la tabla de integrales, para encontrar el área de un circulo con radio r.
El interior del circulo es el conjunto de puntos tal que: (x, y) | − r ≤ y ≤ r, − r2 − y 2 ≤ x ≤ r2 − y 2 .
A partirde esto substituimos y = r sin θ y luego usamos la formula 64 del libro para calcular
la integral siguiente:
√
r
V2 =
−r
−
r 2 −y 2
√
r
π/2
r2 − y 2 dy =
2∗
dxdy =
r 2 −y 2
2∗r∗
−r
1 − sin2 θ ∗ r cos θ sin θ
−π/2
π/2
= 2r2
1
1
θ + sin 2θ
2
4
cos2 θdθ = 2r2
−π/2
Este resultado se evalúa entre los limites de − π2 hasta
= 2r2
π
2
dando como resultado:
π
2
= πr2
3.2.
Parte 2Use una integral triple y sustitución trigonométrica para encontrar el volumen
de una esfera con radio r. En esta segunda parte tomamos en cuenta la siguiente regio
de integración para poder evaluar la integral:
√
√
(x, y, z) | − r ≤ z ≤ r, − r2 − z 2 ≤ y ≤ r2 − z 2 , − r2 − z 2 − y 2 ≤ x ≤ r2 − z 2 − y 2
√
luego substituimos y = r2 − z 2 (sin θ) e integramos mediante la formula 64 el cos2 θ.Dando
como resultado:
√
r
V3 =
−r
√
r 2 −z 2
√
− r 2 −z 2
−r
−
r 2 −z 2 −y 2
√
dxdydz =
r 2 −z 2 −y 2
r 2 −z 2
√
− r 2 −z 2
−r
2∗
r2 − z 2 − y 2 dydz
π/2
2∗
=
r
√
r
1 − sin2 θ ∗ ( r2 − z 2 ∗ cos θdθ)dz
r2 − z 2 ∗
−π/2
r
π/2
r2 − z 2 dz
=2∗
cos2 θdθ
−r
−π/2
Al final se calcula y se obtiene el siguiente resultado:
=2
4 ∗ r3
3
=
2
r3 4π
3
∗
π
2
3.3.
Parte 3
Empleeuna integral cuádruple para encontrar el hipervolumen encerrado por la
hiperesfera x2 + y 2 + z 2 + w2 = r2 en R2 (Utilice solo sustitución trigonométrica y
las formulas de reducción sinn xdx o cosn xdx
√
En esta tercera parte empezamos a sustituyendo y = r2 − w2 − z 2 (sin θ) y luego substituimos w = r sin φ.
π/2
sen2k xdx =
0
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k − 1) π
2 · 4 · 6 · · · · · 2k 2
y
π/2sen2k+1 xdx =
0
2 · 4 · 6 · · · · · 2k
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k + 1)
Después se deduce que por la simetría del coseno y del seno se obtiene:
π/2
π/2
cos2k xdx = 2
sen2k xdx =
−π/2
0
π/2
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k − 1)π
2 · 4 · 6 · · · · · 2k
π/2
cos2k+1 xdx = 2
sen2k+1 xdx =
−π/2
0
(1)
2 · 2 · 4 · 6 · · · · · 2k
1 · 3 · 5 · · · · ·(2k + 1)
(2)
Entonces se obtiene lo siguiente:
√
r
V4 =
−r−r
√
− r 2 −w2 −z 2
√
√
r 2 −w2
√
− r 2 −w2
√
=2
−r
√
− r 2 −w2
−π/2
= 2[
−
−r
r
−r
3.4.
√
− r 2 −w2 −z 2
π/2
√
r
√
−
r 2 −w2 −z 2 −y 2
√
dxdydzdw
r 2 −w2 −z 2 −y 2
r 2 −w2 −z 2
r 2 −w2
r
= 2(π/2)[
r 2 −w2 −z 2
√
− r 2 −w2
r
=2
√
r 2 −w2
r2 − w2 − z 2 − y 2 dydzdw
(r2 − w2 − z 2 )cos2 θdθdzdw
r 2 −w2
√
π/2
(r2 − w2 − z 2 )dzdw][
r 2 −w2
cos2 θdθ]
−π/2
π/2
3
44 2
(r − w2 ) 2 dw] = π( )
3
3
r4 cos4 φdφ =
−π/2
r4 π2
4π 4 (1)(3)(π)
r ∗
=
3
(2)(4)
2
Parte 4
Utilice una n-triple integral para encontrar el volumen encerrado por una hiperesfera de radio r en el espacio n-dimensional Rn . [Sugerencia: las formulas son
diferentes para n par y n impar.] Usamos una substitución de x
xi =
r2 − x2n − x2n−1 − · · · − x2i+1 cosθi
Después usamos las formulas...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.