historia de las integrales

Sabemos que la integral es una antiderivada, y el área bajo la curva, ¿pero…de dónde vienen dichas definiciones?
En la Antigua Grecia, los grandes matemáticos idearon un proceso mediante el cual podían hallar el área de cualquier figura, siempre y cuando ésta pudiese ser dividida en otras figuras geométricas más elementales (como triángulos); este era conocido como el Método Agotamiento.

Estemétodo era relativamente ingenioso, pero aún estaba lejos de la presentación formal de la integral, además de que presentaba fallas cuando se quería hallar el área de una figura curva.
Los griegos competían con el fin de encontrar un método general de cuadraturas, un proceso mediante el cual pudieran hallar el área de cualquier figura curva, un proceso que les permitiera cuadrar cualquier formabidimensional…No lo lograron.

Aún sí, cabe destacar el logro de uno de dichos matemáticos: Arquímides de Siracusa (287a.C. – 212a.C.), quien mediante un ingenioso argumento geométrico, descubrió que el área del segmento de parábola desde x=0 hasta x=t es igual a (1/3)t^3. Hoy en día sabemos que esto es igual a la integral de 0 a t de la función x^2, que es la función que define una parábola. Él no losabía, su demostración fue puramente geométrica.
El caso específico de t=10 para el descubrimiento de Arquímides
Más o menos a partir del siglo III d.C. (suceso relacionado con la destrucción de la Biblioteca de Alejandría) no pasó mucho con respecto al desarrollo del cálculo por un buen tiempo…Pero afortunadamente, después del Oscurantismo, a partir del Renacimiento y la Ilustración, momento enel que renacieron los ideales jónicos y en países como Holanda se abrazaron la ciencia y la técnica, el desarrollo de la Humanidad desde un punto de vista no místico, y se estimuló el factor psicológico de las sociedades hacia la admiración por el conocimiento, aparecieron personajes como Kepler, Pierre de Fermat, René Descartes, entre otros. Todos ellos hicieron aportes al descubrimientodel cálculo; por ejemplo Pierre de Fermat y René Descartes combinaron Álgebra y Geometría para expresar figuras geométricas con ecuaciones algebraicas, de ahí viene el plano cartesiano.
Entre los siglos XVII y XVIII aparecieron los dos personajes que darían por fin solución al problema que plantearon los Antiguos Griegos: Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Desafortunadamente, este par nunca llegó aconocerse personalmente, aunque mantenían contacto por correspondencia, pero nunca trabajaron juntos, sino que se limitaron a competir entre ellos. Cada uno inventó su propia versión del cálculo (casi en paralelo), Newton se lo guardó todo durante unos treinta años, mientras que Leibniz publicó su trabajo sin tapujos.

Por razones que me atrevo a calificar de excesivamente retrógradas y bañadas de unelitismo completamente innecesario, Leibniz fue juzgado como culpable ante la acusación de que había plagiado las ideas de Newton de las cartas que éste le enviaba. Se puede decir que esto llevó a Leibniz a morir de amargura (mientras tanto, Newton se vanagloriaba diciendo que había destrozado el corazón de Leibniz).
En fin.
Durante casi un siglo prevalecieron las notaciones de Isaac Newton para elCálculo, basado principalmente en límites de razones, pero eventualmente se empezó a adoptar la notación del Cálculo de Leibniz, el cual, en ciertos aspectos, era mejor que el de Newton. Fue Leibniz quien ideó la notación que hoy en día usamos para las integrales, basándose en la palabra latina summa, que significa suma.

Dejando ahora de lado la historia, ¿cómo fue que se resolvió entonces elproblema de la cuadratura general de una figura geométrica (cualquiera)?
En realidad hay varios métodos para esto, los cuales pueden visualizar en el siguiente enlace: http://www.wolframalpha.com/examples/NumericalIntegration.html
Uno de los métodos más básicos es el de las Sumas de Riemann, que es (por lo general) el método que se ilustra en universidades (y en algunos colegios) cuando se...