historicismo

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.
 
Las situacionesenunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:


Máximo relativo en 
 


Mínimo relativo en 
 
 
 

 

En  no hay ni máximo ni mínimo relativo.
 
En los siguientesejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último seaplica el  teorema anterior.




1).
 

Note que f está definida para  

Como  entonces  si y solo si, ó . 

Los valores críticos son, y, x=-2. 

Determinemos ahora cuándo  y cuándo. Como , se deben resolver las desigualdades: , . Nos ayudamos con la tabla siguiente: 

 
Como  para  y  para  entonces es un valor mínimo. 

Como  para  y  para  entonces  es un valor máximo. La representación gráfica de la función es la siguiente:


 
Note que  es un mínimo relativo y que  es un máximo relativo, en el dominio de la función.


2). En este caso (¡Compruébelo!) Luego,  si y solo si , ó,  

Además,  no existe si . 

Los valores críticos de f son , , . 

Como  es positivo para todo  entonces para determinar cuándo, y cuando, basta con analizar laexpresión. 


Utilizamos la siguiente tabla:



i. Como  para  y como f es continua sobre ese intervalo, entonces  es creciente sobre  por lo que  sí. 
Por lo tanto  en un valor mínimo relativo de f.ii. Como  para  y  para , entonces.  Es un valor máximo relativo de f. 



iii. Como  si  y como f es continua sobre  entonces fes decreciente sobre, y por tanto  cuando . Luego  es unvalor mínimo relativo de f. 


3).
 
Se tiene que  (¡Compruébelo!) 

Ahora,  si y solo si  es decir, si . 

Los valores críticos de f son , , , estos últimos por ser extremos del...