hola mundo

Capitulo I
Matemática I
Objetivo 3. Efectuar problemas que involucren la relación de orden en R.
Ejercicio 1
Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación: x 2 + 2 x + 2 > 1
Solución
Justificación: Cuando estamos en presencia de una inecuación de este
tipo, debemos igualarla a cero, de la siguiente forma:
x2 + 2 x + 2 > 1 → x2 + 2 x + 2 − 1 > 0 → x2 + 2 x + 1 > 0

Luegofactorizamos la inecuación resultante, para ello podemos aplicar
la resolvente:

x=

−b ± b 2 − 4ac −2 ± 22 − 4(1)(1) −2 ± 4 − 4 −2
=
=
=
= −1
2a
2(1)
2
2

Como el polinomio es de segundo grado se dice que la raíz −1 es doble,
de manera que la factorización queda:

( x + 1)

2

(Obsérvese que se le cambia el signo a la raíz, y se eleva al cuadrado porque
es raíz doble)
Ahora lainecuación resultante es:

( x + 1)

2

>0

Analizando esta inecuación, caemos en la cuenta que todo número real
ℝ elevado al cuadrado es positivo, sin embargo, debemos excluir el número

−1 de la solución, porque haría que la expresión

( x + 1)

2

sea igual a cero, y

observamos en la inecuación que siempre es mayora que cero.
Respuesta: Todos los valores de x que pertenecen alconjunto ℝ − {−1}
Ejercicio 2
Entre las opciones propuestas indica la que corresponde a todos los valores
de x que hacen que la expresión
a. (−∞ , -1]

x3 − 1 sea un número real:

b. (−∞ , -1] U [1 , + ∞)

c. [1 , + ∞)

d. [−1 , 1]

Solución
Justificación: Para que la expresión

x3 − 1 debemos buscar los valores

para las cuales ella existe. Cuando tenemos una raíz de índicepar

n

f ( x)

(n=par) para que exista debemos verificar que f ( x) ≥ 0 , así:
x3 − 1 ≥ 0

Para resolver esta inecuación debemos factorizar. En este caso haremos
uso de la fórmula de reducción:
a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Obsérvese como factorizamos la expresión x3 − 1 , haciendo eso de esta
fórmula de reducción:
a = x
x3 − 1 = x3 − 13 
b =1
Sustituyendo en la fórmula,tenemos:
x3 − 13 = ( x − 1)( x 2 + x(1) + 12 ) = ( x − 1)( x 2 + x + 1)
Ya hemos factorizado, ahora tenemos la inecuación:
( x − 1)( x 2 + x + 1) ≥ 0

Para resolver esta inecuación estudiamos el signo de cada uno de sus
factores, es decir, tanto de ( x − 1) como de ( x 2 + x + 1) , de la siguiente forma:

Explicare a continuación como se construye el cuadro de estudio de
signos.
Primerobuscamos las raíces de cada factor, igualando a cero cada uno de
ellos, de la siguiente manera:
a) x − 1 = 0 ∴ x = 1

b) x 2 + x + 1 = 0 ∴ x =

−b ± b 2 − 4ac −1 ± 12 − 4(1)(1) −1 ± 1 − 4 −1 ± −3
=
=
=
2a
2(1)
2
2

Observamos que el segundo factor no tiene raíces, ya que no existe la raíz
cuadrada de un número negativo.
Por lo tanto tenemos solo una raíz, y es x = 1 para elprimer factor x − 1
c) Luego ponemos los factores al lado izquierdo del cuadro en cualquier orden,
en este caso coloque primero el factor x − 1 y luego el factor x 2 + x + 1 = 0 , de
último colocamos la expresión Sig ( I ) que denota el signo de la inecuación que
estamos estudiando.
d) Luego colocamos en la parte superior las raíces ordenadas, como si las
estuviéramos colocando en la recta real,así siempre colocamos a la izquierda
−∞ luego las raíces ordenadas, en este caso solo el número 1 y por ultimo

siempre colocamos ∞ .
e) Ahora analizamos el signo de cada factor, de la siguiente manera:
* x − 1 > 0 ∴ x > 1 (Nótese que el signo de relación > no tiene nada que ver
con el signo de la inecuación original ≥ , es decir, siempre al estudiar el signo
de cada factor utilizaremos elsigno > independientemente del signo de la
inecuación original)
Podemos observar que obtuvimos x > 1 , esto quiere decir que a la
derecha de la recta que tiene el 1 en la parte superior colocaremos signos + y a
la izquierda − , tal como se evidencia en el cuadro en la primera línea donde se
ubica el factor x − 1 .
*Realizamos la misma operación con el segundo factor.
x 2 + x + 1 > 0 ,...