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N´meros aleatorios. u

Contenidos 1. Descripci´n estad´ o ıstica de datos. 2. Generaci´n de n´meros aleatorios o u – N´meros aleatorios con distribuci´n uniforme. u o – N´meros aleatorios con otras distribuciones. u ∗ M´todo basado en la inversa de la distribuci´n e o de probabilidad acumulada. ∗ M´todo Box-Muller (distribuci´n normal). e o ∗ M´todo del rechazo. e – N´meros aleatorios concorrelaciones. u

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Descripci´n estad´ o ıstica de los datos.

– Distribuci´n de Poisson o P (n) = 1 n n!
n

0.20

e−

n

Objetivo: Caracterizar un conjunto de datos mediante
una distribuci´n y /o un conjunto de par´metros, llamados o a momentos • Distribuci´n de probabilidad. o – Consideremos la variable discreta x, cuyo rango es {x1, x2, . . . xN } – P (xn) ≡ Probabilidad de que almedir x una variable discreta obtengamos el valor xn. • Ejemplos: – Distribuci´n binomial: Siendo p la probabilidad de o que ocurra un suceso en una medida determinada, la probabilidad de m ocurrencias del suceso en N medidas independientes es PN (m) = N m (1 − p)N −mpm

0.15

0.10

0.05

0.00 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

Figure 1: Distribuci´n de Poisson n = 2.5. o 1 P (n) = n! nn e− n

2

3

• Distribuci´n de densidad de probabilidad o – Consideremos la variable continua x. – P (x)dx ≡ Probabilidad de que la variable se encuentre entre x y x + dx. x – CDF (x) = −∞ P (x )dx ≡ Probabilidad de que la variable tenga un valor menor que x. P(x)

– Ejemplo: Distribuci´n normal. o (x − x )2 P (x) = √ exp − 2σ 2 2πσ 2 1
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

11 00 11 00 11 00 P(x) dx11 00 11 00x+dx x 11 00

0.0 −2.0

−1.0

0.0

1.0

2.0

x

– Ejemplo: Distribuci´n log-normal. o 1 1 1 2 P (y) = √ exp − 2 (log y − log y ) . 2y 2σ 2πσ
1.5

1.0

0.5

0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

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5

Momentos.

• Momento central de orden n xn ˆ x ˆ
n

Consideremos el conjunto de puntos {x1, x2, . . . , xN } • Media o valor medio x 1 x ≡ N En MATLAB: mean(x) EnExcel: PROMEDIO()
Notas: Deja de ser util cuando el primer momento de las colas ´ de la distribuci´n es grande. o
2 N

1 = N

N

(xi − x )n
i=1

En MATLAB: moment(x,orden)

xi
i=1

• Varianza σ 2 1 σ = N −1
2 N i=1

(xi − x )2

1 σ = N

N i=1

(xi − x )2 =

x2 − x 2 .

• Mediana xmed es tal que hay igual n´mero de valores u xi < xmed como de valores xi > xmed . EnMATLAB: median(x) En Excel: MEDIANA()
Notas: M´s robusto que la media. Deja de ser util cuando el a ´ ´rea bajo las colas de la distribuci´n es grande. a o
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En MATLAB: var(x), var(x,1) En Excel: VAR()
Notas: El factor que aparece en el denominador es (N − 1) si el valor medio es estimado a partir de los propios datos.

• Desviaci´n est´ndar o desviaci´n t´ o a o ıpica σ = En MATLAB: std(x),std(x,1) En Excel: DESVEST()

√ V ar.

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• Curtosis • Espaciado entre cuartiles: – Espaciado que comprende el segundo y tercer cuartil de los datos. – Es una medida m´s robusta que la desviaci´n est´ndar a o a o de la dispersi´n de los datos. En MATLAB: iqr(x) En Excel: CUARTIL(datos,opciones)
D

1 Curt = N

N i=1

xi − x σ

4

−3

En MATLAB: kurtosis(x) En Excel: CURTOSIS()En el caso en que dispongamos de la distribuci´n subyacente o Norma Media
D r=1 xr P (xr )

Momento de orden n
D

• Coeficiente de asimetr´ (sesgo) ıa 1 Skew = N
N i=1

P (xr ) = 1 E[x] =
r=1 3 D

E[x ] =
n r=1

xnP (xr ) xnP (x)dx
D

xi − x σ

P (x)dx = 1

E[x] =

D

x P (x)dx

E[xn] =

En MATLAB: skewness(x) En Excel: COEFICIENTE.ASIMETRIA()

Distribuci´n MediaVarianza Coef. asim. Curtosis o Poisson x x 1/ x 1/ x Normal x σ 0 0

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Descripci´n estad´ o ıstica de errores.

• Nivel de confianza (P ) y valores cr´ ıticos (zc) para una distribuci´n normal con desviaci´n est´ndard σ. o o a P (zc) ≡ Probabilidad ( |x − x | < zcσ)

Hip´tesis: o Los errores aleatorios proceden de una acumulaci´n de peque˜as alteraciones que se producen al o n azar....