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Integrales Indefinidas

Eleazar J. García

MÓDULO 1
INTEGRALES INDEFINIDAS
Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la
sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también
operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora,
conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominadaantiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada.
Antiderivada.
Una función F se denomina antiderivada de una función f en un intervalo I si
F ′( x) = f ( x) para todo x ∈ I .
Ejemplo.
Si F es la función definida por F ( x) = 4 x 3 + x 2 + 5, entonces F ′( x) = 12 x 2 + 2 x.
De modo que si f ( x) = 12 x 2 + 2 x, entonces f es la derivada de F, y F es laantiderivada
de f. Si G es la función definida por G ( x) = 4 x3 + x 2 − 17, entonces G también es una
antiderivada de f, porque G ′( x) = 12 x 2 + 2 x. En realidad, cualquier función H definida
por H ( x) = 4 x 3 + x 2 + C , donde C es una constante, es una antiderivada de f.

Teorema 1.
Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que f ′( x) = g ′( x) para
todo x ∈ I ,entonces existe una constante K tal que f ( x ) = g ( x ) + K para todo x ∈ I .
“La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se
determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo

∫

denota la operación de antiderivación, y se escribe

F ′( x ) = f ( x ) y d ( F ( x ) ) = f ( x ) dx ”.

En la igualdad

∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,

∫ f( x) dx = F ( x) + C , x es la variable de integración,

donde

f ( x ) es el

integrando y la expresión F ( x) + C recibe el nombre de antiderivada general o
integral indefinida de f. Si { F ( x ) + C} es el conjunto de todas las funciones cuyas
diferenciales sean f ( x ) dx, también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada
es f ( x ).

Teorema 2.

∫

dx = x + C .

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Teorema 3.

∫

af ( x ) dx = a

∫

f ( x ) dx, donde a es una constante.

Teorema 4.
Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces

∫[

∫

f ( x) + g ( x ) ] dx =

f ( x) dx +

∫

g ( x ) dx.

Teorema 5.
Si las funciones f1 , f 2 , f 3 ,… , f n están definidas en el mismo intervalo, entonces

∫[c1 f1 ( x ) + c2 f 2 ( x ) + c3 f 3 ( x ) + … + cn f n ( x) ] dx
= c1

∫

f1 ( x ) dx + c2

∫

f 2 ( x ) dx + c3

∫

f 3 ( x ) dx + … + cn

∫

f n ( x ) dx,

donde c1 , c2 , c3 ,… , cn son constantes.
Teorema 6.

∫

Si n es un número racional, entonces

x n dx =

x n +1
+C
n +1

n ≠ − 1.

Ejemplos.
1) Evalúe

∫

(5x

4

− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 ) dxSolución.

∫

(5x

4

− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 ) dx = 5

∫

=5⋅

x 4 dx − 8

∫

x 3 dx + 9

∫

x 2 dx − 2

∫

x dx + 7

∫

dx

x5
x4
x3
x2
− 8⋅ + 9⋅ − 2⋅ + 7x + C
5
4
3
2

= x5 − 2 x4 + 3 x3 − x2 + 7 x + C

2) Calcule

∫

1

x  x +  dx
x


Solución.

∫

1

x  x +  dx =
x


∫

x

3) Determine

1

2

(x+ x

∫−1

) dx =

∫

(

x +x
3

2

5t 2 + 7
dt
4
t3

2

−1

2

)

dx =

x

5

5
2

2

+

x

1

1
2

2

2
+ C = 5 x 2 + 2x 2 + C
5

1

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Eleazar J. García

Solución.

∫

5t 2 + 7
dt = 5
4
t3

∫

t2
4 dt + 7
t3

= 3t 3 − 21t
5

−1

3

∫

∫

∫

5

−1

2
−4
1
t3
t 3
dt = 5 t 3 dt + 7 t 3dt = 5 ⋅ 5 + 7 ⋅ 1 + C
4
−3
t3
3

+ C = 3t 3 −
5

21
1 +C
t3

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas
seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y
cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes
de diferenciación. A continuación se presentan tales teoremas.
Teorema 7....