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OPTICA
Tarea 5
Fecha de entrega: mi´
ercoles 3 de marzo de 2015.
1. La ecuaci´
on de onda para una amplitud y(x, t) (por ejemplo, el desplazamiento lateral de una
cuerda) es
∂2y
1 ∂2y
=
.
∂x2
v 2∂t2
a) Muestra que la funci´
on arm´
onica y(x, t) = y0 cos(kx − ωt) satisface esta ecuaci´on, encontrando
la relaci´on entre v, k y ω.
b) Muestra que la funci´
on de onda estacionaria y(x, t) = Asen(kx) cos(ωt) tambi´en satisface esta
ecuaci´on. Encontrar la condici´
on que debe satisfacer k si la cuerda est´a fija en x = 0 y x = L.
c) Muestra que si y1 y y2 son soluciones de la ecuaci´on de onda,y = c1 y1 + c2 y2 tambi´en lo es,
para cualquier valor de las constantes c1 , c2 .
d) Se propone como funci´
on de prueba para resolver la ecuaci´on de onda y(x, y) = f (x)g(t), donde
f s´olo dependede x, y g solo depende de t. Demuestra que
g (t)
f (x)
= v2
g(t)
f (x)

.

Si dos funciones de variables distintas son iguales, deben tener un valor constante. Iguala ambos
lados de la ecuaci´
onanterior a la constante −ω 2 , y resuelve las ecuaciones diferenciales para f (x)
y g(t).
2. Es posible generar ondas ultras´
onicas en cristales con longitudes de onda similares a las de la
luz (5 × 105cm) pero con frecuencias menores (6 × 108 Hz). Calcula la rapidez de la onda.
3. Considera las funciones E1 = 3 cos ωt y E2 = 4 sen ωt. (a) Muestra que E2 = 4 cos(ωt − π/2).
(b) Utilizando fasoresmuestra que E3 = E1 + E2 = 5 cos(ωt − φ) y determina φ.
4. Dos ondas esf´ericas con la misma intensidad I0 (en z = d) que se originan en los puntos (a, 0, 0)
y (−a, 0, 0) interfieren en el plano z = dcomo se ilustra en la figura. Utiliza la aproximaci´
on
paraboloidal para las ondas esf´ericas para demostrar que la intensidad detectada es
I(x, y, z) = 2I0 (1 + cos

2πxθ
)
λ

(1)

donde θ = 2a/d esaproximadamente el angulo subtendido por los centros de las dos ondas en el
plano de observaci´
on. El patr´
on de intensidad es peri´odico con periodo λ/θ. Este arreglo es similar
al utilizado por...