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Cap´tulo 6
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Espacios conexos
6.1 Conexos
Definici´ n 6.1.1 (Conjuntos separados). Dado un espacio topol´ gico (X, τ ) y dos subconjuntos
o
o
A, B ⊂ X , diremos que A y B est´ n separados si
a
A∩B =A∩B =∅
Es evidente que si A y B est´ n separados, entonces son disjuntos. Sin embargo el rec´proco no es
a
ı
cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 6.1.2.(1) En R con la topolog´a usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) est´ n separados, pero los intervalos
ı
a
(0, 1) y [1, 2) no lo est´ n, a pesar de que son disjuntos.
a
(2) En (R2 , d2 ) los conjuntos A y B siguientes, est´ n separados
a
A = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} y B {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}
(3) En R con la topolog´a usual, Q y R
ı

Q no est´ n separados.
a

Definici´ n6.1.3 (Espacio topol´ gico conexo). Diremos que un espacio topol´ gico (X, τ ) es
o
o
o
conexo si X no es uni´ n de dos subconjuntos no vac´os y separados. En caso contrario diremos
o
ı
que X es no conexo.
Proposici´ n 6.1.4. Sea (X, τ ) un espacio topol´ gico y dos subconjuntos A, B ⊂ X disjuntos,
o
o
tales que X = A ∪ B . Son equivalentes:
(a) X es no conexo (A y B est´ n separados).
a53

´
CAPITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

54
(b) A y B son cerrados.
(c) A y B son abiertos.
Demostraci´ n. o

(a)⇒(b) Supongamos que A y B est´ n separados, es decir que A ∩ B = A ∩ B = ∅ y veamos
a
que A es cerrado. Podemos poner
A = A ∩ X = A ∩ (A ∪ B ) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B ) = A ∩ ∅ = A
por tanto A = A y es cerrado. An´ logamente B tambi´ n es cerrado.
a
e
(b)⇒(c) Suponemos ahoraque A y B son cerrados, como A ∪ B = X , tenemos que (A ∪ B )c =
∅, luego Ac ∩ B c = ∅; esto implica que Ac ⊂ B y Ac es abierto y como A ∩ B = ∅,, tambi´ n
e
c , luego Ac = B y B es abierto. An´ logamente A tambi´ n es abierto.
es B ⊂ A
a
e
(c)⇒(a) Supongamos que A y B son abiertos y que A ∪ B = X . Tal y como hemos visto, esto
quiere decir que Ac ∩ B c = ∅, luego Ac ⊂ B ; y como A y B sondisjuntos tambi´ n ocurre que
e
c luego Ac = B , lo que implica que, B es tambi´ n cerrado y B = B de lo que obtenemos
B⊂A
e
A ∩ B = A ∩ B = ∅. An´ logamente A ∩ B = ∅.
a
Corolario 6.1.5. Un espacio topol´ gico (X, τ ) es conexo si, y s´ lo si los unicos conjuntos abiertos
o
o
´
y cerrados son X y ∅.
Definici´ n 6.1.6 (Subconjunto conexo). Dado un espacio topol´ gico (X, τ ) y unsubconjunto
o
o
S ⊂ X , diremos que S es conexo si (S, τS ) con la topolog´a relativa es conexo.
ı
Proposici´ n 6.1.7. Un subconjunto S de un espacio topol´ gico (X, τ ) es no conexo si, y s´ lo si
o
o
o
existen dos subconjuntos A, B ⊂ X separados, tales que A ∪ B = S .
Demostraci´ n. Es una consecuencia inmediata de la definici´ n de topolog´a relativa y la proposio
o
ı
ci´ n 6.1.4.
oEjemplo 6.1.8.
(1) Cualquier espacio topol´ gico con la topolog´a trivial es conexo.
o
ı
(2) Cualquier espacio topol´ gico con la topolog´a discreta es no conexo.
o
ı
Teorema 6.1.9. Sea (X, τ ) un espacio topol´ gico y {Ai }i∈I una familia de subconjuntos conexos
o
no vac´os de X , tales que no est´ n separados dos a dos. Entonces A = ∪i∈I Ai es conexo.
ı
a
Demostraci´ n. Hagamos la pruebapor reducci´ n al absurdo. Supongamos que A = ∪i∈I Ai es
o
o
no conexo; entonces existe B ⊂ A, B = A no vac´o que es abierto y cerrado en (A, τA ).
ı

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6.2. CONEXOS EN R

Como B = ∅, existe x ∈ B ⊂ A y como B = A existe y ∈ A, y ∈ B . Por tanto existen ix , iy ∈ I
/
tales que x ∈ Aix e y ∈ Aiy . Entonces B ∩ Aix = ∅ es abierto y cerrado en (Aix , τix ) que es
conexo por hip´tesis, luego B ∩ Aix = Aix lo que implica que Aix ⊂ B .
o
De la misma forma (A B )∩Aiy = ∅ es abierto y cerrado e (Aiy , τiy ), luego (A B )∩Aiy = Aiy ,
lo que implica que Aiy ⊂ B A.
Pero A y B B est´ n separados en (A, τA ) pues son dos abiertos y cerrados no vac´os cuya uni´ n
a
ı
o
es A, lo que lleva consigo que Aix y Aiy tambi´ n est´ n separados, en contra de la hip´ tesis, lo que
e
a...