iintegrales

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS
2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON
2.4
2.5

FUNCIONES
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina continuidad.
• Realice demostraciones formales de continuidad.
• Diseñe funciones continuas.41

Cap. 2 Continuidad de funciones

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Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de
una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su
comportamiento justamente en ese punto.

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere
que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, queal trazar su gráfica
no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar
matemáticamente esta definición.

Sea f una función de una variable real
definida en un intervalo abierto (a, b) y
sea x0 ∈ (a, b) , se dice que f es continua en
" x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si se
x→ x
0

cumplen tres cosas:
1. f ( x0 ) está definida
2. lím f ( x) = L (existe);y
x→ x
0

3. L = f ( x0 )
Caso contrario, se dice que f es
discontinua en " x0 "
Ejemplo
Una función continua en un punto x0

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Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos:
Ejemplo 1

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe
x → x0

Ejemplo 2

La función no es continuaen x0 , debido a que lím f ( x) no existe
x → x0

Ejemplo 3

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 )
x→ x

0

43

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Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una
discontinuidad esencial.
Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad
removible, por que seríacuestión de definir a f en el punto " x0 " con el
valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito,
observe que sólo en este caso el límite existe.
Ejemplo 4
x 2 + 5x − 6
no está definida en x = 1
x −1
f ( x ) = x + 6 ; x ≠ 1 que no es continua en x = 1 .
f ( x) =

y

su

gráfica

es

la

de

⎧ x 2 + 5x − 6
;x ≠1
⎪
Definiéndola continua tenemos f ( x) =⎨ x − 1
⎪
7
;x =1
⎩

Ejemplo 5
Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que

⎧ e2x − 1
⎪
;x ≠ 0
f ( x) = ⎨ x
⎪A
;x = 0
⎩

sea continua en x = 0 .
SOLUCIÓN:
La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto
con el valor de lím f ( x) si es que existe, para que sea continua en todo R , Es decir, hacer que
x→0

A = f (0)= lím f ( x) .
x→0

e 2x − 1
= 2 . Por tanto A = 2
x →0
x

Calculando el límite tenemos: lím

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Moisés Villena Muñoz

2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS.
1. Una función polinomial es continua en todo número
real.
2. Un función racional es continua en todo su dominio,
es decir en todo número excepto donde el
denominador es cero.
3. Lafunción valor absoluto es continua en todo
número real.
4. La funciones seno y coseno son continuas en todo
número real.
5. Las funciones tangente, cotangente, secante y
cosecante son continuas en todo su dominio, es
decir en todo número excepto donde el denominador
es cero.

2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES
2.3.1 Teorema

Si f y g son funciones continuas en el
punto " x0", entonces también lo son: kf ,
f +g,

( f ( x0 ) > 0

f − g,
si n es par

f .g ,

f
g

( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f

)

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Demostración.
Demostremos lo siguiente:

"Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces

f + g también es continua en " x 0 "

Las hipótesis serían H 1: lim f ( x) = f (...