Induccion

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
ESCUELA DE GRADUADOS CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2003

Índice general
INDUCCION MATEMATICA 0.1. PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA . . . . . . . . . . . 0.2. TEOREMA DEL BINOMIO . . . . 0.3. PROGRESIONES ARITMETICAS YGEOMETRICAS . . . . . . . . . 0.4. EJERCICIOS PROPUESTOS . . .
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INDUCCION MATEMATICA
0.1. PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA

Entre las herramientas más utilizadas en matemática, está un método de demostración llamado Método de Inducción Matemática.Este método se basa en un razonamiento deductivo y se utiliza específicamente para demostrar la validez de ciertas proposiciones para un subconjunto de números naturales. Si se quiere probar por ejemplo que: an = an−3 , a3 ∀ n ∈ N, n>3

intuitivamente, la forma de operar sería ir comprobando si la igualdad se mantiene para n = 4, n = 5, ..., etc., pero ¿hasta qué valor de n?. Esta forma de operarobviamente no es una demostración y puede existir algún número natural que no verifique la proposición. Observemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 0.1.1 “∀n, n ∈ N, n2 − n + 41 es un número primo”, analicemos la validez de la proposición para: n = 1, 1 − 1 + 41 = 41 y 41 es un número primo. n = 2, 4 − 2 + 41 = 43, también es un número primo. n = 3, 9 − 3 + 41 = 47, también es un número primo. n = 15,225 − 15 + 41 = 251, también es un número primo. Con los resultados anteriores tenderíamos a generalizar y decir que la proposición es válida para todo número natural n, pero ¿qué pasa si n = 41? (41)2 − 41 + 41 = (41)2 que no es un número primo. Este contraejemplo nos demuestra que la proposición no es válida para todo número natural. ii

CAPÍTULO 2: Inducción Matemática

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Es evidenteentonces, la necesidad de un método de demostración que analizaremos a continuación. Axioma 0.1.2 (PRINCIPIO DE LA BUENA ORDENACION) Todo subconjunto no vacío de N tiene un elemento menor que los restantes, es decir: si S ⊆ N, S 6= ∅, entonces existe p ∈ S tal que p ≤ r, ∀r ∈ S. Teorema 0.1.3 (PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA) Sean S ⊆ N ∧ p ∈ N tales que: (i) p ∈ S (ii) k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ SEntonces S contiene a todos los enteros mayores o iguales que p. Demostración. (por reducción al absurdo) Supongamos que S no contiene a todos los enteros mayores o iguales que p, es decir: ∃k ∈ N, k > p tal que k ∈ S. / Sea G el conjunto de todos los enteros mayores o iguales que p que no están en S, luego G 6= ∅, pues k ∈ G. Si r es el menor elemento de G, entonces, r ∈ S pero r − 1 ∈ S y por /hipótesis (ii) (r − 1) + 1 = r ∈ S. Esta contradicción proviene de suponer que S no contiene a todos los enteros mayores o iguales a p, por lo tanto el Teorema queda demostrado. Observación 0.1.1 Si p = 1, entonces S contiene a todos los enteros mayores o iguales que 1, es decir S = N. Ejemplo 0.1.4 : 1) Demostrar que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 , ∀n ∈ N. (i) 1 = 12 , esto es: p1 es verdadera, luego1 ∈ S. 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2 Sean pn : 1+3+5+...+(2n − 1) = n2 y S = {n ∈ N : pn es verdadera} (ii) Supongamos que k ∈ S, esto es: pk es verdadera (H.I.)

CAPÍTULO 2: Inducción Matemática (iii) Probemos que (k + 1) ∈ S, esto es: 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 Demostración de la T.I : 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) (por H.I.) = k2 + 2k + 1 = (k+ 1)2 Por lo tanto k + 1 ∈ S y en consecuencia S = N. 2) Demostrar que (a + 1)n ≥ 1 + na, ∀n ∈ N Sean pn : (a + 1)n ≥ 1 + na y S = {n ∈ N : pn es verdadera} (i) (a + 1)1 = a + 1, y 1 + 1 · a = 1 + a = a + 1. Así, (a + 1)1 ≥ 1 + 1 · a, (ii) Supongamos k ∈ S, esto es: (a + 1)k ≥ 1 + ka (iii) Probemos que (k + 1) ∈ S, esto es, (a + 1)(k+1) ≥ 1 + (k + 1) a Demostración de la T.I. : (a + 1)(k+1) =...