Inferencia

>nivel de confianza, >amplitud del intervalo.El NDC y la A del intervalo varian conjuntamente, de forma que un intervalo mas amplio tendrá mas posibilidades de acierto (mayor NDC) mientras que para un intervalo mas pequeño que ofrece una estimación mas precisa, aumentan sus posibilidades de error. Por lo tanto a >NDC >A del intervalo.
>tamaño de la muestra <long del intervalo.Si aumentamos el tamaño de la muestra estamos disminuyendo la varianza de estimación de la media, por lo tanto disminuye la dispersión del estimador, en consecuencia la amplitud del intervalo disminuye.

ESTIMADORES:
1. estadístico suficiente: vamos a utilizar el teorema de factorización, es decir, vamos a intentar factorizar la función de verosimilitud de la muestra en el producto de dosfunciones, una g(θ,t) que depende del parámetro y de la muestra sólo a través del estadístico t=T(X1,..,Xn), y una segunda función h(x1,..,Xn)que solo depende de la muestra.Luego necesitamos determinar la función de verosimilitud de esta muestra. Como trabjamos con una m.a la cual genera v.a que son indep.la verosimilitud será: L(θ;x1..Xn)=∏f(x;θ).. La verosimilitud puede ser factorizada como sigue:L(θ;x1..Xn)=g(θ,t)*h(x1,...,Xn) con lo cual se concluye que el estadístico suficiente para θ es T(x1,…,Xn).
2.estimador max verosímil: Para poder encontrar el EMV de θ,tenemos que obtener la verosimilitud de la muestra.y luego necesitamos maximizar la verosimilitud. l(θ;x1..Xn)=log{L(θ;x1..Xn)}. La condición del primer orden será: (derivando).(despejando θ).. ahora cuando es discontinua: paraobtener el estimador MV necesitamos maximizar la función de verosimilitud c/r a θ.Podriamos utilizar el calcuolo para maximizar esta función, pero cmo vemos esta tiene una zona de discontinuidad, por lo tanto podría no ser útil esta forma de maximizar.Lo mejor que podemos hacer es graficar la función en términos de valores de θ.
3.estimador de θ por el MM: para encontrar un estimador de θ por elMM, primero necesitamos conocer un momento poblacional. Vamos a probar con el momento no centrado de primer orden µ’1=E(x), para ello tenemos ke resolver E(x)∫xf(x;ѳ)dx. Entonces µ’1=µ=E(x)=?, ahora utilizando el momento muestral de orden 1, la media muestral ẋ, e igualando al momento poblacional podemos obtener el estimador.(despejamos θ)
4. Rao-cramer: para comprobar si los estimadores son devarianza minima, necesitamos por un lado ver si son insesgados y calcular su varianza y luego determinar la cant de Fisher.
5. veamos si son insesgados: E(θ(est))=θ. Ambos estimadores son insesgados,ahora necesitamos
6.calcular la varianza de los estimadores. Primero vamos a calcular el momento de orden2 de la v.a, es decir:E(x^2)=∫x^2f(x;θ). Luego vemos que V(θ(est))=?.
7. obtener la cant Fisherdef por: I n (θ)= -E[2da derivada de l(θ;x1..Xn)]. Por lo q la cota minima que hace referencia al teorema Frechet-Cramer-Rao es I n (θ)^-1=?.
8.demostrar que el estimador θMM es consistente : para ver la consistencia del estimador, (1ero ver si el estimador es insesgado) tenemos que analizar que es lo que pasa con el sesgo cuando n→oo, veamos, 1ero el sesgo.Para ello vamos a calcular suesperanza: E(θ(e)MM)=θ, como el sesgo es 0, este sigue siendo 0 cuando n→oo.veamos su varianza.V(θ(e)MM)=? Si ambos tienden a 0 cuando n→oo, ent concluimos que el estimador θ(e)MM es consistente para θ.
INTERVALOS DE CONFIANZA
1.para µ donde σ2 conocido: podemos ver que Z(µ)=raíz(n)(X-µ)/σ es un pivote y puede ser usado para construir un IC para µ. Cmo Z(µ) es una combinación lineal de v.a. normalestendrá distr. Normal en particular será una v.a normal con media 0 y varianza 1. Así

Z~N(0,1).. etc!
2.para σ2: queremos encontrar un pivote para construir intervalos de confianza para la varianza σ2.Dado que tenemos una v.a que es normal, la cant. Entonces, dado un nivel de significación α y para dos cantidades a y b tales que:

luego el IC de confianza para σ2 es:….
3. para (µ1-µ2) con...