Infinito

Infinito

El símbolo de infinito ∞ (Unicode U+221E), también llamado lemniscata, en diferentes tipos de letra.
Para el canal de televisión por cable, véase Infinito (canal de televisión).
Para el grupo español del mismo nombre, véase Infinito (banda).
El concepto de infinito (símbolo: ∞) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía1 y la astronomía,2 en referencia a una cantidad sinlímite o final, contrapuesto al concepto de finitud.3
En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntoscomo números transfinitos. Todos estos conceptos son diferentes y no corresponden todos ellos a la misma noción deinfinitud.
Teoría de conjuntos
Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza: "dada una parte propia de los mismos, ésta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto". Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad "intuitiva" de los conjuntos finitos no la tienenlos conjuntos infinitos, y formalmente se dice que:
Un conjunto  es infinito si existe un subconjunto propio  de , es decir, un subconjunto  tal que , tal que existe una biyección  entre  y .
La idea de cardinalidad de un conjunto se basa en la noción anterior de biyección. De dos conjuntos entre los que se puede establecer una biyección se dice que tienen la misma cardinalidad. Para un conjunto finito sucardinalidad puede representarse por unnúmero natural. Por ejemplo, el conjunto {manzana, pera, durazno} tiene 3 elementos. Esto significa de modo más formal que se puede establecer una biyección entre tal conjunto y el número 3 que es el conjunto {0,1,2}:

Dicho de otra forma, es posible hacer parejas (0, manzana), (1, pera), (2, durazno) de modo que cada elemento de los dos conjuntos se utiliceexactamente una vez. Cuando es posible establecer tal relación "uno a uno" entre dos conjuntos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, lo cual, para conjuntos finitos, equivale a que tengan el mismo número de elementos.
Primera definición positiva de conjunto infinito
La primera definición positiva de conjunto infinito fue dada por Georg Cantor y se basa en la siguienteobservación: Si un conjunto S es finito y T es un subconjunto propio, no es posible construir una biyección entre S y T. Por ejemplo, si S = {1,2,3,4,5,6,7,8} y T = {2,4,6,8} no es posible construir una biyección entre S y T, porque de ser así tendrían la misma cardinalidad (el mismo número de elementos).
Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la mismacardinalidad que el conjunto original. Consideremos el conjunto de los números naturales N={1,2,3,4,5,...}, el cual es un conjunto infinito. Para verificar tal afirmación es necesario encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos. Para este caso, consideremos el conjunto de enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto P es un subconjunto propio de N, y la regla deasignación  es una biyección:

ya que a todo elemento de N le corresponde un único elemento de P y viceversa.
Números ordinales infinitos
Artículo principal: Número ordinal (teoría de conjuntos)
Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo, tercer elemento...). El ejemplo más elemental es el de los números naturales, que se definen rigurosamenteasí: Se nota  el conjunto vacío:

se nota  el conjunto que sólo contiene :

luego se nota  el conjunto que sólo contiene  y :

Y así sucesivamente:

Por construcción, 0 está incluido en 1, quién a su vez está incluido en 2, ya que obviamente:

La inclusión permite convertir a los ordinales en un conjunto bien ordenado (dos elementos distintos siempre se pueden comparar, y añadiendo la igualdad...