Informe De Ecuaciones

Circuitos con multimallas resueltos con Laplace
Catedrático: Ing. Ada Pinel
Curso de Ecuaciones Diferenciales
Miembros:
Katherine Zavala #21341101
Sergio Chinchilla #21341069
Lester Jiménez #21221046
Holman Guevara #21
David Ulloa #21341158
Cristian Castellanos #21

Fecha: 22 de Septiembre del 2015


Introducción
A continuación se presenta un trabajo que consiste en la resolución de un circuitocon dos mallas resuelto utilizando un método de la clase de ecuaciones diferenciales llamado Laplace. En este circuito primero serán planteadas las ecuaciones con las leyes de Kirchhoff de Mallas y Nodos. Luego se procederá a la resolución del ejercicio, se utilizara el método de Laplace para poder encontrar la corriente con respecto al tiempo y la carga con respecto al tiempo.Objetivos
1. Investigar y profundizar el tema de circuitos multi-mallas y de las leyes físicas y eléctricas de Kirchhoff así como su aplicación en las ecuaciones diferenciales.
2. Utilizar el teorema de Laplace para la resolución de circuitos eléctricos.
3. Encontrar la la corriente I(t) y la carga q(t) con respecto al tiempo, del circuito.
















Marco teórico
Circuitos multi-mallas
Lamayoría de los circuitos tienen más de una malla y con frecuencia se pueden moldear por un sistema de ecuaciones diferenciales desafortunadamente la aplicación de las leyes de Kirchhoff del voltaje y la corriente casi siempre llevan un sistema con demasiadas variables. Existen algoritmos basados en teoría de gráficas para encontrar un conjunto reducido de variables. Se considera circuito de dos mallasde la forma mas general mostrada:

Este circuito tiene 3 ramas denotadas por D, A, C con corrientes i1, i2, i3 respectivamente, en cada rama se permitirá alguna combinación lineal de resistores, inductores,capacitores y fuentes de voltaje independientes en serie. Las unidades son ohms, amperios, columbs, y voltios etc.

Tambien se supone que hay al menos una rama que no tiene un capacitor enella. El procedimiento es el siguiente:
1. Se escribe la ley de voltaje por las mallas ab y bc usando la carga como la variable dependiente si hay una capacitor. De otra manera se usa la corriente en la rama. Esto da dos ecuaciones diferenciales con tres incognitas.
2. Se usa la ley de la corriente para eliminar una variable de corriente correspondiente a una rama sin capacitor.
El resultado es unsistema de ecuaciones diferenciales que se puede resolver por los métodos de este capitulo.


Transformadas de Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) paratodos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:



Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonósu investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler,trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó...