Informe De Fisica Ecuaciones Empiricas

PRACTICA Nº1:
TÍTULO:
ECUACIONES EMPIRICAS

RESUMEN:
Como una forma más elaborada de trazar curvas continuas por puntos, podemos usar una variedad de métodos matemáticos para encontrar una función analítica que se ajuste a esos puntos. Con todo, las funciones generadas empíricamente para ajustarse a un conjunto de observaciones son útiles.
Es posible obtener gráficas y susrespectivas ecuaciones empíricas, partiendo únicamente de simples valores numéricos que se da a cualquier variable, las cuales se ubican en el eje “X” y el eje “Y” contenidos estos en el plano.
En el caso de obtener como gráfica una recta, ésta se adecua a una ecuación lineal; lo cual nos hará posible la fácil obtención de valores numéricos que intersectándolos y uniendo dichos puntos obtenidos, en elplano, trataran de buscar correspondencia entre el sistema y el modelo dado.
De dicha gráfica y empleando métodos como: Método de los mínimos cuadrados y el método visual, se puede obtener el valor del coeficiente de correlación (r) en el caso de 2 variables medidas, donde una puede considerarse como causa de la otra.
En caso de que la gráfica fuera una curva cuya ecuación puede ser la de unafunción potencia, exponencial y logarítmica se procederá a linealizar la función para así proceder como en el caso de una ecuación lineal.

II. OBJETIVOS:
Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en la UNC, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de curva y determinar su ecuación empírica.
Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar laecuación de una curva /exponencial, potencial, logarítmica, etc.) a una recta.
Aplicar, el método de los mínimos cuadrados para hallar la ecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.


FUNDAMENTO TEORICO

Teoría de los mínimos cuadrados

Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados:(variable independiente, variable dependiente) y una familia de funciones, se intenta encontrar la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y loscorrespondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que el método de mínimos cuadrados promedio minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones paraconverger.
Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importanteque los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía omaximizando la entropía.
Formulación formal del problema bidimensional
Sea un conjunto de n puntos en el plano real, y sea una base de m funciones linealmente independientes en un espacio de funciones. Queremos encontrar una función que sea combinación lineal de las funciones base, de modo que , esto es:

Por tanto, se trata de hallar los m coeficientes que hagan que la función aproximante...