ing civil

Moisés Villena Muñoz

Geometría Plana

1 ANGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
2 ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS,
CORRESPONDIENTES
3 FIGURA PLANA
4 TRIÁNGULOS
5 CUADRILATEROS
6 FIGURAS CIRCULARES

La trigonometría con la Geometría Plana están íntimamente
relacionadas. Se requiere el uso de conceptos y procedimientos
geométricos para resolver situaciones prácticas, de allísu importancia
de estudio.

1

Geometría Plana

Moisés Villena Muñoz

Definiciones y criterios de trigonometría van a ser útiles en este
capítulo.

1. ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Suponga que dos rectas tienen un mismo punto de intersección

Al punto de intersección se lo denomina vértice. Los pares de
ángulos " x "," φ " y " y "," β " se los denomina "ángulos opuestos por elvértice". Observe que los ángulos opuestos por el vértice son de igual
medida.

2. ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS, CORRESPONDIENTES.
Suponga que se tienen tres rectas
de la manera indicada en el gráfico:

l1 , l2 y l3 ubicadas en el plano
l3

B
A

l1

D

C
E
F
G

l2

H

Los ángulos A , B , G y H se denominan Externos.
Los ángulos C , D , E y F se denominanInternos.
Los pares de ángulos:
•
•
2

C
A

y
y

F , D y E se denominan Alternos Internos.
H , B y G se denominan Alternos Externos.

Geometría Plana

Moisés Villena Muñoz

•

y F, C y
Correspondientes.

G, D

Ay E , B

y

H

se denominan

Si l1 , l 2 son paralelas ( l1 // l2 ) entonces los pares de ángulos
alternos internos, alternos externos y correspondientesson de igual
medida.
l3

A
C

B

l1

D

E
F
G

l2

H

Ejercicio Propuesto 1
1. Si las rectas AB y CD son paralelas en el gráfico adjunto, determine la medida en radianes
del ángulo ‘x’ y la medida del ángulo ‘y’.

Resp. x =

π

6

, y=

2π
.
3

3

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Moisés Villena Muñoz

3 FIGURA PLANA
Se denomina FIGURA PLANA
subconjunto no vacío delplano.

a

todo

3.1 Figura plana convexa

Sea F una figura plana cerrada y sean P1 y P2
puntos del plano. F es convexa si y sólo si
∀P ∈ F , ∀P2 ∈ F ⎡ P P2 ⊆ F ⎤
1
⎣ 1
⎦
Una figura convexa sería:
P1
P2

Una figura no convexa podría ser
P1

P2

De aquí en adelante trataremos sólo con figuras convexas.
3.2 Puntos Colineales

Sean P1 , P2 y P3 tres puntos del plano. P1 , P2 yP3 son colineales si y sólo si P1 ∈ P2 P3 o P2 ∈ P1 P3
o P3 ∈ P1 P2 .
En otros términos, se dice que los puntos son colineales si
pertenecen a una misma recta.
Si tenemos puntos no colineales, podemos formar una figura
plana cerrada trazando segmentos de rectas uniendo todos los puntos.
Esta figura, formada así, se convertirá en un importante objeto de
estudio.
4

Geometría PlanaMoisés Villena Muñoz

3.3 Poligonal.

Sean P1 , P2 ,…, Pn , n puntos no colineales . Se
denomina POLIGONAL al conjunto de puntos
que pertenecen a la unión de los segmentos de
rectas P1 P2 , P2 P3 ,…, Pn P1
P
1
P8

P2

P3

P7

P6

P4
P5

La poligonal divide al plano en dos regiones: la interior a la
poligonal y la exterior a la poligonal.
3.4 Polígono.

Se denominaPOLÍGONO al conjunto de punto
que pertenecen tanto a lo poligonal como a la
región interior de la poligonal.

A los puntos

P1 , P2 ,…, Pn se los denomina vértices del

polígono. A los segmentos P P2 , P2 P3 ,…, Pn P se los denomina lados del
1
1
polígono. A los segmentos de rectas formados entre vértices no
consecutivos, se les denomina diagonales. A los ángulos P P 2 P3 ,
1

P2 P 3 P4,…, Pn−1 P n P1 se les denomina ángulos interiores.
Si los lados del polígono son de igual medida, se dice que es un
polígono regular; caso contrario se dice que es un polígono irregular.

5

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Moisés Villena Muñoz

3.4.1 Congruencia y semejanza de polígonos

Sean los polígonos P(P1 P2

Pn ) y Q(Q1Q2

P2

Qn )

Q2
P3

Q3

P
1
P4

Q1

Q4

P5

Q5...