Ing Civil

Cap´
ıtulo 7

El teorema de punto
fijo y aplicaciones

1.

Problemas de valor inicial

La primera motivaci´n para el contenido de este cap´
o
ıtulo es el estudo de
la ecuaci´n diferencial ordinaria
o
(7.1a)

x (t) = F (x(t), t),

donde buscamos una funci´n t → x(t) : R → Rl que satisfaga la ecuaci´n
o
o
l × R → Rl . En particular, nos interesa la respuesta a
(7.1), donde F :R
la siguiente pregunta: ¿Bajo qu´ condiciones en F la ecuaci´n (7.1a) tiene
e
o
soluci´n en un intervalo (−ε, ε) que satisface
o
(7.1b)

x(0) = x0 ,

x0 ∈ Rl , como condici´n inicial?
o

A la pareja de ecuaciones (7.1) se le denomina problema de valor inicial,
y nos referiremos a ´l como PVI. Observemos que si integramos con respecto
e
a la variable t la ecuaci´n (7.1a), yhaciendo uso del valor inicial (7.1b) y
o
del teorema fundamental del c´lculo, llegamos a la ecuaci´n integral
a
o
t

(7.2)

F (x(s), s)ds.

x(t) = x0 +
0

Observamos que, si F es continua, la ecuaci´n (7.2) es equivalente al PVI
o
´
(7.1), de nuevo por el teorema fundamental del c´lculo. Esto quiere decir que
a
si la funci´n x(t) es una soluci´n de (7.1), entonces es tambi´n unasoluci´n
o
o
e
o
de (7.2) y viceversa. As´ que podemos estudiar el PVI (7.1) a trav´s de la
ı
e
ecuaci´n integral (7.2).
o
115

116

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

La principal ventaja de escribir el PVI como la ecuaci´n (7.2), es el hecho
o
que, si F es continua, entonces el operador x → Φ(x) definido por
t

F (x(s), s)ds

Φ(x)(t) = x0 +
0

es continuo en elespacio C ([−r, r ], Rl ) de las funciones continuas en un
intervalo [−r, r ] alrededor de 0. Por lo tanto, reducimos entonces el problema
al estudio del operador Φ sobre este espacio, para el cual hemos estudiado
su estructura con detalle.
En particular, observamos que una soluci´n x(t) al PVI satisface la ecuao
ci´n
o
Φ(x) = x,
por lo que entonces x es un punto fijo de Φ. De tal forma quereducimos el
trabajo a la respuesta de las siguientes dos preguntas:
1. ¿Bajo qu´ condiciones en F podemos garantizar que el operador Φ
e
tiene un punto fijo en C ([−ε, ε], Rl ), para alg´n ε > 0?
u

2. ¿Bajo qu´ condiciones podemos garantizar que este punto fijo es
e
unico?
´

La segunda pregunta es importante, porque responde a la pregunta sobre
la unicidad de la soluci´n al PVI (7.1).Los siguientes dos ejemplos muestran
o
distintas situaciones sobre unicidad de la soluci´n.
o
Ejemplo 7.1. Consideremos el problema de valor inicial x (t) = λx(t),
λ ∈ R, con x(t) = 1. Es f´cil ver que la funci´n x(t) = eλt satisface este PVI,
a
o
as´ como tambi´n es un punto fijo del operador Φ con F (x, t) = λx, ya que
ı
e
t

Φ(eλt ) = 1 +

λeλt dt = eλt .

0

Mas a´n, podemosverificar que esta soluci´n es unica: Si y (t) es una soluci´n
u
o
´
o
−λt y (t). Entonces
al PVI, consideramos f (t) = e
f (t) = −λe−λt y (t) + e−λt y (t) = (−λy (t) + y (t))e−λt = 0
para todo t, por lo que f (t) es entonces constante, por el teorema del valor
medio. Como f (0) = y (0) = 1, entonces f (t) = 1 y, por lo tanto, y (t) = eλt .
No es muy dif´ mostrar, de manera similar, que lasoluci´n a la ecuaci´n
ıcil
o
o
x (t) = f (t)x(t), x(0) = x0 ∈ R, donde f : R → R es continua, es unica,
´
utilizando el teorema del valor medio (ejercicio 1).
Ejemplo 7.2. Consideremos ahora el PVI dado por x (t) = x(t), con
x(0) = 0. Es claro que la soluci´n constante trivial x(t) = 0 para todo t es
o

2. El teorema de contracci´n
o

117

una soluci´n a este problema. Sinembargo, la funci´n
o
o

0
t≤0
(7.3)
x(t) = t2

t > 0,
4
es tambi´n soluci´n. As´ que este problema no tiene soluci´n unica.
e
o
ı
o´
De hecho, el PVI del ejemplo 7.2 tiene una infinidad de soluciones (ejercicio 2).
En las siguientes secciones comprenderemos la raz´n por lo cual los dos
o
ejemplos previos tienen distinta unicidad de soluciones, lo cual haremos a
trav´s del...