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ESTABILIDAD IIIA Trabajo práctico n° 6
"Resolución de sistemas elásticos por teoría de segundo orden"

EJERCICIO A) Para la siguiente estructura de H°A° y de secciones 40x50 cm para todos los elementos y eje de menor inercia perpendicular al plano, se pide a) Calcular la carga P critica. Determinar la longitud de pandero de cada barra. b) Calcular los diagramas de Momento, Corte y Normal desegundo orden para una carga P igual al 40% de la carga critica determinada en el punto anterior.

E  300000

kgf cm
2

Jz 

40cm ( 50cm) 12

3

L1  6m

L2  4m

1 / 23

a) El ejercicio se realizó con una P unitaria y al final se varió su valor, iterando con el objetivo de que el determinante de la matriz de rigideces de segundo grado sea nulo. P  1N Hacemos primero unanálisis de primer orden para obtener una primera estimación de las normales:

Sistema fundamental:

Calculo el término independiente:
2   P  L2  1 R0   50m 8    P  N m  m   10 

R0 

 0.04     0.1 



X1 =+1

2 / 23



X2 = +1

Matriz de rigideces: E J  E Jz  4  3  6 z  m   L  2 L2   8 7 1   L1     1   1.737  10 2.043 10  R   7 6  E Jz E Jz 2 N m   2.043  10 6.81  10  m m  12  6 2 3   L1 L1  

X 

1   1

Given R0  R X = 0 X  Find( X) 

 2.314  10 9      8  2.163  10 

Cálculo de las normales: E Jz   P 5L2     X0  1.103  10 3 kN N1   P      3 2 50m 8     L2  P 4 N2   1  10  kN 10

 P 3L2   E Jz    X0  9.768 10 4 kN N3   P      3 2 50m 8     L2 

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A partir de estos valores comenzamos el análisis de segundo orden:

u 1 

N1 E Jz

 L1  5.692  10

4

u 2 

N2 E Jz

 L2  1.142  10

4

u 3 

N3 E Jz

 L1  5.356  10

4

Φ 1 ( u ) 

u  cos( u )  sin( u )  4 u  sin( u )  2 ( 1  cos( u ) ) u

Φ 2 ( u ) 

sin( u )  u 2 u  sin( u )  2 ( 1  cos( u ) ) u
2

Φ 3 ( u ) 

4 Φ1( u)  2 Φ2( u) 6 Φ 4 ( u ) 
2

4 Φ1( u)  3

Φ2( u)

Φ1( u)

u Φ 7 ( u )  Φ 3 ( u )  12

3 Φ4u2  E Jz Φ 3  u 1   4Φ u  E Jz  1  1  m   L  6 2 L2   1 7 7   L1     1   6.67  10 2.036  10  R2   7 6  E Jz Φ 3  u 1  E Jz Φ 7  u 1  2 N m   2.036  10 6.786  10  mm  6 12  2 3   L1 L1   R2  3.818  10
13

Queremos que el determinante de esta matriz sea nulo, que es la condición de equilibrio indiferente. Realizamos un proceso iterativo variando el valor de P para que se cumpla. P  20997367.71490899658N E J   E Jz  4  3  6 z  m  L  2   8 7  1 L2  L1     1   1.737  10 2.043  10  R   7 6  E Jz E Jz 2 N m  2.043  10 6.81  10  m m  12  6 2 3   L1 L1  
2   P  L2  1 R0   50m 8    P  N m  m   10 

X 

1   1

R0 

 8.399  105     6   2.1  10 

Given R0  R X = 0 X  Find( X) 

 0.049     0.454 
4 / 23

Cálculo de las normales: E Jz   P 5L2     X  2.316  104 kN N1   P      3 2 0 50m 8     L2  P 3 N2  2.0997367715  10  kN 10

 P 3L2   E Jz    X  2.051  104 kN N3   P      3 2 0 50m 8     L2 

A partir de estos valores comenzamos el análisis de segundo orden: N1 E Jz N2 E Jz u 3  N3 E Jz  L1  2.454

u 1 

 L1  2.608

u 2 

 L2  0.524

Φ 1 ( u ) 

u

4 u  sin( u )  2 ( 1  cos( u ) )



u  cos( u )  sin( u )

Φ 2 ( u ) 

u2 u  sin( u )  2 ( 1  cos( u ) )
2



sin( u )  u

Φ 3 ( u ) 

4 Φ1( u)  2 Φ2( u) 6 Φ 4 ( u ) 
2

4 Φ1( u)  3

Φ2( u)

Φ1( u)

u Φ 7 ( u )  Φ 3 ( u )  12

3 Φ4u2  E Jz Φ 3  u 1   4Φ u  E Jz  1  1  m   L  6 2 L2   1 8 7   L1     1   1.515  10 1.799  10  R2   7 6  E Jz Φ 3  u 1  E Jz Φ 7  u 1  2 N m  ...