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Ciclo 2013-4

ÁREAS DE REGIONES PLANAS
1º CASO: Como se recordará, si f es una función continua en el intervalo a, b ,
b

 f ( x)dx

entonces

representa

a

geométricamente, el área de la región bajo la
curva f y el eje x, desde x = a hasta x = b.
b

A   f ( x)dx
a

2º CASO: Análogamente, el área de la región
comprendida entre
g
y  c hasta y  d ,siendo
continua en [c, d] será:
d

A   g(y)dy
c

Ejemplo 1: Hallar el área de la región limitada por la curva y  f ( x)  x 2 , el eje x y
las rectas x=1 y x=3
Solución:
3

3

x3
33 13
A   x dx 
 
31 3 3
1
2

1 26
 9   u2
3 3

1
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MATEMÁTICA 2-WA

Ejemplo 2: Hallar el área de
y  f ( x)  4 x  x 2

la región limitadaentre el eje x y por la curva
Solución:

Los límites de integración serán los puntos donde se intercepta la curva con el eje x.
4x  x2  0
x(4  x)  0
De aquí se tiene que x=0 y x=4,
4

x3
A   4 x  x dx  2 x 
3
0
2

4


43  
03 
 2(4) 2    2(0) 2  
3 
3

32
 u2
3

2

0

Ejemplo 3: Hallar el área de
x  y 2 ( y  1) .

la figura por el ejede las ordenadas y la curva
Solución

Para encontrar el área, solucionamos la ecuación y 2 ( y  1)  0 para encontrar los límites
de integración. Es fácil ver que esta ecuación tiene como solución y  0  y  1 .
1

1





Area  y 2 ( y  1)dy  y 3  y 2 dy
0

0

y 4 y3


4
3


1

0

1 1

4 3

Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por la curva x 4  y 2 y el eje y
Solución
La parábola corta al eje y en los puntos (0,2) y (0,-2)
Los límites de integración son y  2 e y  2
2


y3 
32
A   4  y dy  2 4  y dy  24 y   
3 0
3

2
0
2



2



2



2



2
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MATEMÁTICA 2-WA

Signo de la integral definida
 Si f ( x)  0 (la gráfica de f está sobre el ejex) en [a, b] , entonces



b

a

f ( x)dx  0

 Si f ( x)  0 (la gráfica de f está por debajo del eje x) en [a, b] , entonces



b

a

f ( x)dx  0 .

Como el área es una medida, se debe expresar como número positivo; por lo que en el
presente caso el área (no la integral definida) es:
b

A   f ( x)dx ó A 
a



b

a

f ( x)dx

Ejemplo 5: Hallar el área dela región limitada por la curva y  x 2  7 x  6 el eje x y
las rectas x=2 y x=6
Solución:
6

 x3

x2
56
A    x  7 x  6dx     7
 6 x  
 3

2
3

 2
2
6

2

Ó
6

A

 x

2

 7 x  6  dx  

2

56 56

3
3

Área del recinto limitado por una función que cambia de signo en a, b
Si la gráfica de una función queda parte por encima ypor debajo del eje x, la integral se
descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que
delimita con el eje x en el intervalo a, b
Por la propiedad (6)
b

c

d

b

a

a

c

d

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
d

Ahora bien, el área de la región A2    f ( x)dx
c

c

b

a

d

y A1   f ( x)dx y A3   f ( x)dxEntonces:

A  A1  A2  A3
c

Ó también

A



d

f ( x)dx 

a


c

b

f ( x)dx 

 f ( x)dx
d

3
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MATEMÁTICA 2-WA

Ejemplo 6: Hallar el área de la región entre el eje x y la gráfica de y  x3  x 2  2 x ,
1  x  2 .
Solución:
Primero encontraremos en qué puntos la curva se intercepta con el eje x:
x3  x 2  2 x  0x( x 2  x  2)  0
x( x  2)( x  1)  0
Se tiene x  0, x  1, x  2
Estos puntos subdividen al intervalo [1, 2] en dos subintervalos:
[1, 0] , en donde f ( x)  0
[0, 2] , en donde f ( x)  0

El área A= A1  A2
Integrando f en cada subintervalo:
0

x 4 x3
5
A1    x  x  2 x dx    x 2 
1
4 3
12
1
0

3

2

2

x 4 x3
8
A2    x  x  2 x dx   ...