Ingenieria del software

Universidad Antonio Nari~no
Matem¶aticas Especiales
Gu¶³a N± 6: Residuos y polos
Grupo de Matem¶aticas Especiales
Resumen
Se estudia la clasi¯caci¶on de las singularidades de una funci¶on a
partir de su desarrollo en serie de Laurent, al igual que el c¶alculo del
residuo en cada singularidad. Se presenta el Teorema del Residuo de
Cauchy como una herramienta ¶util y pr¶actica para elc¶alculo de inte-
grales de contorno. Finalmente, se hace un breve estudio de los residuos
en polos, a partir de algunos resultados que hacen innecesario el de-
sarrollo en serie de Laurent alrededor de la singularidad.
1. Singularidades
De¯nici¶on 1. Sea f una funci¶on de variable compleja y z0 2 C. z0 es un
punto singular de f si f no es anal¶³tica en z0 pero es anal¶³tica en alg¶un
punto decada vecindad de z0.
z0 es un punto aislado si es un punto singular para el cual existe una vecindad
punteada de z0, 0 < jz ¡ z0j < ", en la cual f es anal¶³tica.
Ejemplo 2. A continuaci¶on se consideran las singularidades de algunas
funciones de variable compleja.
1. f(z) =
2z
(z ¡ 2) (z2 ¡ 1)
.
Esta funci¶on tiene 3 puntos singulares aislados: z1 = 2, z2 = ¡1,
z3 = 1. (Ver Figura 1.)
12. g(z) =
1
z
+
3
z2 + 1
.
En este caso, f tiene 3 singularidades aisladas: z1 = 0, z2 = i, z3 = ¡i.
(Ver Figura 1.)

¡1 1 2





i
¡i
f(z) =
2z
(z ¡ 2)(z2 ¡ 1)
g(z) =
1
z
+
3
z2 + 1
Figura 1: Singularidades para las funciones f y g.
3. h(z) =
1
sen
¡¼
z
¢.
Para determinar las singularidades de h es necesario determinar cu¶ando
sen
¡¼
z
¢
= 0, esto es,
¼
z= 0;§¼;§2¼;§3¼; : : : ;§n¼
z = §1;§
1
2
;§
1
3
; : : : ;§
1
n
:
En otras palabras, h(z) no es anal¶³tica cuando z 2
©
0;§1;§1
2 ;§1
3 ; : : :
ª
.
Estos puntos singulares son todos aislados, excepto z0 = 0, ya que al
considerar cualquier vecindad punteada alrededor de 0 siempre es posi-
ble encontrar un punto de la forma z = 1
k en el interior de tal vecindad.
}
2.Clasi¯caci¶on de singularidades
Sea f una funci¶on de variable compleja y z0 una singularidad de f. Entonces
f admite un desarrollo en serie de Laurent alrededor de z0:
f(z) =
1X
n=0
an(z ¡ z0)n +
b1
z ¡ z0
+
b2
(z ¡ z0)2 + ¢ ¢ ¢ +
bn
(z ¡ z0)n + ¢ ¢ ¢ (1)
2
v¶alido en una anillo 0 < jz ¡ z0j < R.
Los coe¯cientes bn pueden determinarse a partir de la integral de contorno:
bn =
1
2¼i
IC
f(z)
(z ¡ z0)¡n+1
dz; n = 1; 2; : : :
donde C es cualquier curva simple, cerrada y positivamente orientada alrede-
dor de z0, que est¶e contenida en el anillo 0 < jz ¡ z0j < R.
La parte de (1) que contiene s¶olo potencias negativas de z ¡ z0:
b1
z ¡ z0
+
b2
(z ¡ z0)2 + ¢ ¢ ¢ +
bn
(z ¡ z0)n + ¢ ¢ ¢ (2)
se conoce como la parte principal de f en z0. Con base en ella, se clasi¯can
lassingularidades en tres tipos: polos, singularidades removibles y singular-
idades esenciales.
Si la parte principal de f en z0 tiene un n¶umero ¯nito de t¶erminos, es
decir,
f(z) =
1X
n=0
an(z ¡ zn
0 ) +
b1
z ¡ z0
+
b2
(z ¡ z0)2 + ¢ ¢ ¢ +
bm
(z ¡ z0)m
con bm 6= 0, entonces z0 es un polo de orden m.
En particular, si m = 1, z0 es un polo simple y cuando m = 2, z0 es
un polodoble.
Si f carece de parte principal en z0, esto es,
f(z) =
1X
n=0
an(z ¡ z0)n
entonces z0 es una singularidad removible. N¶otese que en este caso
Res z=z0f(z) = 0.
La singularidad se dice removible puesto que es posible rede¯nir la
funci¶on haciendo f(z0) = a0, del tal manera que f resulte anal¶³tica en
z0.
Si la parte principal de f en z0 tiene in¯nitos bn no nulos, entonces z0
es unasingularidad esencial de f.
3
Ejemplo 3. Clasi¯que las singularidades de las siguientes funciones.
1. f(z) =
1 ¡ cos z
z2 .
La ¶unica singularidad de f es z0 = 0. Dado que
cos z
z2 =
1
z2
1X
n=0
(¡1)n
(2n)!
z2n =
1X
n=0
(¡1)n
(2n)!
z2n¡2 =
1
z2 +
1X
n=1
(¡1)n
(2n)!
z2n¡2
entonces el desarrollo en serie de Laurent de f alrededor de z0 es
f(z) =
1 ¡ cos z
z2 =
1
z2...