Ingenieria Industrial

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Comparaciones múltiples entre medias Tema 6 1. Comparaciones múltiples 2. Comparaciones planeadas o a priori: 2.1 F planeadas 2.2 Comparaciones de tendencia 3. Comparaciones no planeadas o a posteriori: 3.1 Prueba de Tukey 3.2. Prueba de Scheffé

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Tema 6

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1. Comparacionesmúltiples Combinación lineal de medias coeficientes que suman cero. Para J medias: con

L

= c1 µ 1 + c 2 µ 2 + L + c J µ J =

∑c
j =1

J

j

µj

Ejemplo: Si desean compararse dos medias µ1 y µ2, en caso de que sean iguales:

µ1 = µ2
Esto puede escribirse también del modo: L = µ1 - µ2 = 0 Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0.

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Ejemplo: Tres medias: 1) Una posibilidad es comparar µ1 y µ2, tomadas juntas, con µ3. Es decir:
µ1 + µ 2
2 = µ3

Lo cual puede escribirse: L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 =0 Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0. 2) Otra posibilidad es comparar
µ2 = µ1 + µ3
2

Es decir: L2 = -µ1 + 2µ2 - µ3 = 0 Coeficientes: -1, 2 y -1 3) Otra comparación es:µ1 = µ3 Luego: L3 = µ1 - µ3 = 0 Coeficientes: 1, 0 y -1
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Asignación de coeficientes a las medias 1) Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre sí. 2) Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al número de medias del otro grupo. 3) Cambiar el signo de los coeficiente de uno de losgrupos. Ejemplo: Cinco medias: µ1, µ2, µ3, µ4 y µ5. Desea compararse µ1 y µ2 con µ3, µ4 y µ5. 1) Grupo 1: µ1 y µ2. Grupo 2: µ3, µ4 y µ5 2) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: 2µ3, 2µ4, 2µ5 3) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: -2µ3, -2µ4, 2µ5 Es decir: L = 3µ1 + 3µ2 -2µ3 -2µ4 -2µ5 = 0
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Comparaciones ortogonales Aquellas que nocontienen información redundante. La información que proporciona una comparación no se solapa con la proporcionada por otra. Con J medias es posible realizar J-1 comparaciones ortogonales. Regla práctica: Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficientes es cero.

L1 L2

= c11 µ 1 + c12 µ 2 + L + c1 J µ J = c 21 µ 1 + c 22 µ 2 + L + c 2 J µ J

Son ortogonales si:

∑c
j =1J

1j

c2 j = 0

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Ejemplo: Comparación L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 L2 = µ1 - µ2 L3 = µ1 - µ3 L1 y L2 son ortogonales: (1*1) + (1*-1)+(-2*0) = 0 L1 y L3 no son ortogonales: (1*1) + (1*0)+(-2*-1) = 3 L2 y L3 no son ortogonales: (1*1) + (1*0)+(0*-1) = 1 Coeficientes 1, 1, -2 1, -1, 0 1, 0, -1

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2. Comparaciones planeadas o a priori Se realizan de forma independiente al ANOVA. No es necesario realizar también este. 2.1 Pruebas F planeadas Se aplican cuando desean realizarse dos o más comparaciones ortogonales: L1, L2, ..., Lh Para una comparación Li, por ejemplo con tres medias: 1. Hipótesis H0: Li = c1µ1 + c2µ2 - c3µ3 = 0H1: Li ≠ 0 2. Supuestos (los mismos del ANOVA) Normalidad Independencia Homocedasticidad
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3. Estadístico de contraste Valor estimado de la comparación (utilizando las medias muestrales):

ˆ Li = c1Y1 + c 2Y2 + c3Y3 + L + c J YJ
Suma de cuadrados de la comparación: ˆi L2 ˆ SC ( Li ) = J c2 j

∑n
j =1

jPara J-1 ortogonales:

comparaciones

ˆ ∑ SC ( L ) = SCI
j =1 j

J −1

ˆ ˆ MC ( Li ) = SC ( Li ) Media de cuadrados error (la misma del ANOVA): MCE
ˆ MC ( Li ) Estadístico de contraste: Fi = MCE

Distribución: Fi ~ F1, gle 4. Zona crítica y decisión: Fi ≥1−α F1, gle
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Ejemplo: (continúa). Métodos de...