Ingeniero Biomedico

A Wavelet Tour of Signal Processing
St´phane Mallat e

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Contents
1 Introduction to a Transient World
1.1 Fourier Kingdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Time-Frequency Wedding . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Windowed Fourier Transform . . . . . . . . . . . 1.2.2 Wavelet Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bases of Time-Frequency Atoms . . . . . . . .. . . . . . 1.3.1 Wavelet Bases and Filter Banks . . . . . . . . . . 1.3.2 Tilings of Wavelet Packet and Local Cosine Bases 1.4 Bases for What? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Travel Guide . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Reproducible Computational Science . . . . . . . 1.5.2 Road Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Linear Time-Invariant Filtering . 2.1.1 Impulse Response . . . . . . 2.1.2 Transfer Functions . . . . . 2.2 Fourier Integrals 1 . . . . . . . . . 2.2.1 Fourier Transform in L1(R ) 2.2.2 Fourier Transform in L2(R ) 2.2.3 Examples . . . . . . . . . .2.3 Properties 1 . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Regularity and Decay . . . . 2.3.2 Uncertainty Principle . . . .
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22 23 24 25 28 29 32 34 35 38 41 42 42 43 45 46 47 48 48 51 54 57 57 58

2 Fourier Kingdom

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CONTENTS
2.3.3 Total Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4 Two-Dimensional Fourier Transform 1 . . . . . . . . . . 68 2.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Discrete Revolution

3.1 Sampling Analog Signals . . . . . . . . . . . .3.1.1 Whittaker Sampling Theorem . . . . . . 3.1.2 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 General Sampling Theorems . . . . . . . 3.2 Discrete Time-Invariant Filters 1 . . . . . . . . 3.2.1 Impulse Response and Transfer Function 3.2.2 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Finite Signals 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Circular Convolutions . . . . . . . . . .3.3.2 Discrete Fourier Transform . . . . . . . . 3.3.3 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . 3.3.4 Fast Convolutions . . . . . . . . . . . . . 3.4 Discrete Image Processing 1 . . . . . . . . . . . 3.4.1 Two-Dimensional Sampling Theorem . . 3.4.2 Discrete Image Filtering . . . . . . . . . 3.4.3 Circular Convolutions and Fourier Basis 3.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 73 . 74 . 76 . 80 . 82 . 82 . 84 . 89 . 89 . 90 . 92 . 94 . 95 . 96 . 97 . 99 . 101 . 105 . 108 . 112 . 115 . 118 . 119 . 121 . 126 . 132 . 136 .139 . 149 . 156

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4 Time Meets Frequency

4.1 Time-Frequency Atoms . . . . . . . . . . . . . 4.2 Windowed Fourier Transform 1 . . . . . . . . . 4.2.1 Completeness and Stability . . . . . . . 4.2.2 Choice of Window 2 . . . . . . . . . . . 4.2.3 Discrete Windowed Fourier Transform 2 4.3 Wavelet Transforms 1 . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Real Wavelets . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2 Analytic Wavelets . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Discrete Wavelets 2 . . . . . . . . . . . . 4.4 Instantaneous Frequency 2 . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Windowed Fourier Ridges . . . . . . . . 4.4.2 Wavelet Ridges . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Quadratic Time-Frequency Energy 1 . . . . . .

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CONTENTS
4.5.1 Wigner-Ville Distribution . . . . . . . 4.5.2 Interferences and Positivity...