INGENIERO

FUNCIONES ESPECIALES
1. Funciones circulares.
Llamamos
funciones
circulares
a
aquellas
relacionadas
con
la
2
2
circunferencia de ecuación x + y = 1.
Cada punto P(x, y) de la circunferencia
en términos de un parámetro tÎR,
obteniendo
las funciones circulares
seno, coseno, tangente etc.

a) Estudio del seno. Regla: y = f(x) = sen x

Dom f = R.

Ran f = [-1, 1]

yObservaciones
i) La función seno es impar.

1

ii) La función seno es periódica, con
p

-p/2

periodo 2p.

x

p/2

iii) La función seno crece en

-1

y decrece en < p/2, 3p/2>.

b) Estudio del coseno. Regla:

3p/2

y = f(x) =cos x

Dom f = R.

Ran f = [-1, 1]

y
Observaciones
i) La función coseno es par.

1

ii) La función coseno es periódica, con
periodo 2p.
iii)La función coseno crece en
y decrece en < 0, p/>.

Profesor: Ing. Oscar Mamani S.

p

- p/2

0

p/2

-1

osmasu@hotmail.com

x
2p

1

c) Estudio de la tangente. Regla: y = f(x) = tan x
Dom f = R – {(k + ½)p, kÎZ }

;

Ran f = R
y

Observaciones
i) La función tangente es impar.
ii) La función tangente es periódica,
con periodo p.

p

iii) La función tangentees creciente

-3p/2

-p

-p/2

0

p/2

x
3p/2

en todo su dominio.

2. Función Exponencial
Una función exponencial de base “b” es aquella cuya regla de correspondencia es:

f(x) = b

b Î R+ – {1}

x

Dom f = R

GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES
x

I. Si: f(x) = b ,

b >1

Características

y

a) Dom f = R
y=b

b) Ran f = R+

x

c) Es creciente
d) EsBiyectiva

(0,1)
x

Profesor: Ing. Oscar Mamani S.

osmasu@hotmail.com

2

x
II. Si: f(x) = b , 0 < b < 1

Características

y

a) Dom f = R
b) Ran f = R+
c) Es creciente
d) Es Biyectiva

y = bx

(0,1)

x

Propiedad de la función exponencial
· La función exponencial tiene una función inversa en todo su dominio.
x
· La gráfica de y = b está situada siempre por encimadel eje de las abscisas.

2.1 Función Exponencial Natural ( Base “ e ”)
Muchos problemas que surgen en la naturaleza así como en la economía necesitan
de una función exponencial cuya base es un número irracional simbolizado por
“e”, el cual se define como:
n
æ 1ö
e = lim ç 1+ ÷
n ®¥ è n ø

e = 2.718281828459045235360287...

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:

y = ex

yy=e

x

(0,1)
x

Profesor: Ing. Oscar Mamani S.

osmasu@hotmail.com

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3. Función Logaritmo
La función logaritmo de base “b” es la función con regla de correspondencia
Dom f = R+

y = lg b x

Ran f

= R

Gráfica de la función Logaritmo

I. y = lgb x,

b >1
y

Características:
y = lg x
b

a) Dom f = R+
b) Ran f = R
c) Es creciente

x

d) Es Biyectiva

II.y = lgb x,

(1,0)

si 0 < b < 1

Características:

y

a) Dom f = R+

y = lg x
b

b) Ran f = R
c) Es decreciente
d) Es Biyectiva

(1,0)

x

Notas.
1) Si b = 10 : tenemos lg10 M = lgM

se lee “logaritmo Decimal de M”.

2) Si b = e : se tiene lge M = lnM

se lee “logaritmo Natural de M”

Profesor: Ing. Oscar Mamani S.

osmasu@hotmail.com

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Relación entrelas gráficas de la función exponencial y logarítmica

a) Si b > 1 :

y = bx ;

y = lgbx
y
y=x

y=b

x

x

y = lg b

(0,1)

x
(1,0)

b) Si 0 < b < 1 :

y = bx

; y = lgb x
y
y=x

(0,1)
y=b

x

x
(1,0)

x

y = lg b

Profesor: Ing. Oscar Mamani S.

osmasu@hotmail.com

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OPERACIONES CON FUNCIONES
Si f y g son dos funciones que tienen dominios Dom f yDom g respectivamente,
entonces:
· SUMA Y RESTA
i) Dom (f ± g) = Dom f Ç Dom g
ii) (f + g) (x) = f(x) ± g (x)
f ± g = {(x, f(x) ± g(x)} / x Î (Dom f Ç Dom g)}

· MULTIPLICACION
I) Dom (f . g) = Dom f Ç Dom g
ii) (f . g) (x) = f(x) . g (x)
f . g = {(x, f(x) . g(x)} / x Î (Dom f Ç Dom g)}
Nota: Multiplicación de una función f por sí mismo.
f2 = f . f
fn = f . f …… f (n veces), M Î N...