ingeniero

Cap´
ıtulo 6
Diagonalizaci´n ortogonal de matrices reales
o
sim´tricas
e

6.1

Caracterizaci´n de las matrices ortogonales
o

En el Cap´
ıtulo 1 se present´ la definici´n de matriz ortogonal A, como aquella inversible con
o
o
−1 = At . Entre sus propiedades se se˜ al´ que su determinante es 1 ´ −1. Por ser A una matriz
A
n o
o
inversible, sus columnas ⃗ 1 , ⃗ 2 , . . . , ⃗ nforman una base de I n , y podemos escribir A c´mo:
b b
b
R
o
A = [ ⃗1 ⃗2 . . . ⃗n ]
b b
b
 ⃗t 
b1
 ⃗t 
 b2 
quedando por tanto At =  . 
 . 
.
⃗t
b
n

 ⃗t 

 ⃗t⃗
b1
b1 b1
 ⃗t 
b
tA =  2  [ ⃗ ⃗ . . . ⃗ ] =  .
Entonces A
bn
 .  b1 b2
 .
.
 . 
.

⃗t ⃗1
bn b

⃗t
bn


. . . ⃗t⃗n
b1 b
{
.  = I ⇔ ⃗ t⃗ = δ = 1 si i = j
..
. 
bi bjij
.
.
0 si i ̸= j
. . . ⃗t ⃗n
bn b

⃗ t ⃗ j = ⃗ i · ⃗ j denotando · el producto escalar habitual en I n definido por:
R
bi b
b b




v1
 v2 
 
⃗ · ⃗ = ⃗ t ⃗ = [ u1 u2 ... un ]  . 
u v u v
 . 
.
vn
Por tanto A ortogonal ⇔ ⃗ i · ⃗ j = δij ⇔ B = {⃗ 1 , . . . , ⃗ n } es base ortonormal respecto al
b b
b
b
producto escalar habitual en I n .
R
La ortonormalidadsignifica que los vectores son ortogonales entre s´ (el producto escalar de
ı
√
dos vectores distintos es nulo) y cada uno de ellos es unitario, es decir, de norma 1, ⃗ i · ⃗ i =
b b
√
⃗ t ⃗ i = 1 ∀i = 1, ..., n (⃗ i · ⃗ i = 1).
b b
b b
i

Concluimos que una matriz real inversible A es ortogonal si y s´lo si sus columnas son
o
base ortonormal respecto del producto escalar habitual en In .
R
Por la propiedad de que si A es ortogonal, At tambi´n lo es, tenemos que tambi´n se cumple
e
e
187

´
´
CAP´
ITULO 6. DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE MATRICES REALES SIMETRICAS188
que A es ortogonal si y s´lo si sus filas son base ortonormal respecto del producto
o
escalar habitual en I n .
R
[

Ejemplo: Demuestra que la matriz P =

]

4/5 3/5
es ortogonal.
−3/5 4/5Dos m´todos:
e
• Efectuando P t P obtenemos la matriz I.
• Denotanto ⃗ 1 = (4/5, −3/5) y ⃗ 2 = (3/5, 4/5) se tiene que para el producto escalar habitual
b
b
de IR 2 :
⃗1 · ⃗2 = 0 y ⃗1 · ⃗1 = ⃗2 · ⃗2 = 1
b b
b b
b b

6.2

Diagonalizaci´n ortogonal de matrices sim´tricas
o
e

Se cumple el siguiente resultado para matrices cuadradas reales: A es sim´trica si y s´lo si existen
e
o−1 . Recordamos que esta es la expresi´n de la
Q ortogonal y D diagonal tales que A = QDQ
o
diagonalizaci´n por semejanza, y que por tanto D es la matriz de autovalores, y las columnas de
o
Q forman la base de los correspondientes autovectores. Por ser Q ortogonal dicha base es base
ortonormal respecto del producto escalar habitual. Podemos expresar: A sim´trica si y s´lo si
e
o
existeuna base de autovectores ortonormal respecto del producto escalar habitual en IR n .
Teniendo en cuenta que Q−1 = Qt , podemos expresar la ecuaci´n anterior en la forma A =
o
QDQt , quedando muy simplificada la factorizaci´n diagonal por semejanza.
o
Por ser A diagonalizable respecto de una base ortonormal se dice que A que es ortogonalmente
diagonalizable.
Hemos visto que una matriz esreal y sim´trica si y s´lo si es ortogonalmente diagonalizable. Es
e
o
decir, no s´lo admite base de autovectores, sino que admite base ortonormal de autovectores.
o
Las propiedades arriba indicadas se resumen a continuaci´n:
o
• Si A es real y sim´trica de orden n, entonces tiene n ra´
e
ıces reales contando multiplicididades, por tanto n autovalores reales contando multiplicidades, y ladimensi´n de los
o
subespacios propios es igual a la multiplicidad algebraica de los correspondientes autovalores. Esto dos resultados no son m´s que las condiciones para que A sea diagonalizable.
a
ı
• Los subespacios propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre s´
n
respecto del producto escalar habitual en I . Veamos la demostraci´n de esta propiedad:
R
o...