Ingeniero

Introducci´n al M´todo de Diferencias Finitas o e
P.A. Tassi y C.R. Engelberger
Resumen Se presenta una breve introducci´n al m´todo de las diferencias finitas para o e aproximar la soluci´n de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas o parciales. El marco te´rico se plantea en forma general, aplicable luego a la o soluci´n de problemas espec´ o ıficos de la Ingenier´ Civil. Se proponela solucion ıa empleando Matlab y se presentan algunos resultados.

1.

Introducci´n o

En la b´ squeda de una descripci´n cualitativa de un determinado fen´meno u o o f´ ısico, por lo general el ingeniero plantea un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, v´lidas para determinada regi´n (o dominio), e impone sobre a o dicho sistema condiciones de borde e inicialesapropiadas. En esta etapa, el modelo matem´tico est´ completo, y es aqu´ donde aparece la mayor dificultad, dado que soa a ı lamente la forma m´s simple de ecuaciones, con fronteras geom´tricamente triviales a e es capaz de ser resuelta en forma exacta con los m´todos matem´ticos disponibles. e a Las ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes son uno de los a a pocos ejemplos para loscuales se dispone de procedimientos matem´ticos cl´sicos o de soluci´n. Con el fin de evitar tales dificultades y lograr resolver el problema con la ayuda de computadoras, es necesario presentar el problema de una manera puramente algeo u braica. Mediante el proceso de discretizaci´n, el conjunto infinito de n´ meros que o o ınuo es reemplazado por representan la funci´n o funciones inc´gnitas en elcont´ un n´ mero finito de par´metros inc´gnita, y este proceso requiere alguna forma de u a o aproximaci´n. o Entre las diferentes formas de discretizaci´n posibles (elementos finitos, vol´ menes o u finitos, etc.), una de las m´s simples es mediante el M´todo de Diferencias Finitas. a e

1

Diferencias Finitas

Elasticidad y Plasticidad

Antes de proceder con la descripci´n del m´todo,introduciremos algunas definiciones o e y conceptos que ser´n utilizados a lo largo del curso. a

1.1.

Problemas de valor de frontera

Consideremos el problema de encontrar la funci´n φ(x) que satisface la ecuaci´n o o diferencial: d dφ − a + cφ − q = 0, para 0 < x < L, (1) dx dx sujeta a las condiciones de borde φ(0) = u0 , a dφ dx = Q0 ,
x=L

(2)

donde a = a(x), c = c(x), q = q(x), φ0y Q0 son datos (cantidades conocidas) del problema. La Ec.(2) es utilizada para la descripci´n anal´ o ıtica de variados procesos f´ ısicos, como por ejemplo, problemas conducci´n de calor a trav´s de una pared o e plana (transferencia de calor 1-D), flujo en canales y tuber´ deflexi´n transversal ıas, o de cables, deformaci´n axial de barras (ver Fig. 1a), entre otros. En la Tabla 1 se o presentauna lista de problemas posibles de ser descriptos por la Ec.(2). En la primera condici´n de borde, aplicada en x = 0, el valor de la funci´n φ(x) se especifica como o o φ0 , esto es φ = φ0 en x = x0 (3) Una condici´n de borde de este tipo se denomina condici´n de borde Dirichlet. o o En la segunda condici´n, aplicable a la condici´n remanente de la frontera x = L, o o el valor de la funci´n seprescribe de la forma o a dφ dx = Q0 en x = L
x=L

(4)

Este tipo de condici´n de borde se denomina condici´n de borde Neumann. o o Tal ecuaci´n diferencial ordinaria puede ser resuelta anal´ o ıticamente, pero ser´ utilizaa da, junto a otras, para ilustrar el procedimiento de discretizaci´n. Adem´s, ser´ utio a a lizada para demostrar la precisi´n del m´todo de aproximaci´n por comparaci´n con oe o o la soluci´n exacta. o

2.

Diferencias Finitas en 1-D

Supongamos querer resolver el problema de valor de frontera unidimensional presentado anteriormente, esto es, deseamos determinar la funci´n φ(x) que satisface o 2

Diferencias Finitas

Elasticidad y Plasticidad

la ecuaci´n diferencial (1) en el dominio 0 ≤ x ≤ Lx , junto a apropiadas condiciones o de borde a x = 0 y x =...