Ingeniero
Páginas: 2 (480 palabras)
Publicado: 23 de junio de 2014
Universidad San Francisco De Quito
Ecuaciones Diferenciales
Sección 4.7
Ecuación de Cauchy-Euler
Gustavo Cárdenas
00100940
22.06.14
LA ECUACIÓN DECAUCHY-EULER
Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este métodode solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.
Ecuación de Cauchy-Euler llamada también ecuación Equidimensionaltiene la forma
Donde, los coeficientes an, an-1,…, a2, a1 ,a0 son constantes reales.
La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado de las potencias coincide con elorden de la diferenciación, .
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Consideramos una ecuación diferencial de Cauchy-Euler de segundo orden y suponemos una solución de la forma donde será determinada enprocedimiento similar a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes. Cuando se sustituye , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomioen m multiplicado por
La primera y segunda derivadas son, respectivamente:
Y en consecuencia
Así, es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de laecuación auxiliar (homogénea asociada)
am(m-l)+bm+c=0 o am2+(b-a)m+c=0. (1)
Hay tres casos distintos por considerar, en función de si las raíces de esta ecuación cuadrática sonreales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.
CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales de (l), con m1 ≠ m2. Entonces y forman un conjuntofundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:
(2)
CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si ml = m2), solo llegaremos a una solución,...
Ecuaciones Diferenciales
Sección 4.7
Ecuación de Cauchy-Euler
Gustavo Cárdenas
00100940
22.06.14
LA ECUACIÓN DECAUCHY-EULER
Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este métodode solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.
Ecuación de Cauchy-Euler llamada también ecuación Equidimensionaltiene la forma
Donde, los coeficientes an, an-1,…, a2, a1 ,a0 son constantes reales.
La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado de las potencias coincide con elorden de la diferenciación, .
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Consideramos una ecuación diferencial de Cauchy-Euler de segundo orden y suponemos una solución de la forma donde será determinada enprocedimiento similar a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes. Cuando se sustituye , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomioen m multiplicado por
La primera y segunda derivadas son, respectivamente:
Y en consecuencia
Así, es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de laecuación auxiliar (homogénea asociada)
am(m-l)+bm+c=0 o am2+(b-a)m+c=0. (1)
Hay tres casos distintos por considerar, en función de si las raíces de esta ecuación cuadrática sonreales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.
CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales de (l), con m1 ≠ m2. Entonces y forman un conjuntofundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:
(2)
CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si ml = m2), solo llegaremos a una solución,...
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