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Integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, eleje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

abfxdx

Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
* Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
* Cuando la función f (x) es mayor quecero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
* La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
* La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
* Al permutar los límites deuna integral, ésta cambia de signo.
* Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

abfxdx+ bcfxdx+ acfxdx

* Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
abfxdx≤ abgxdx

Ilustración gráfica del concepto de integral definida:

Función integralConsiderando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:
y=Fx= axftdt

Donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b],F (x) nos da el área.
Interpretación geométrica de la función integral o función área:

Teorema fundamental del cálculo integral
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partirdel teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
* Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
* Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
* El valor de la integral definida entre estos dospuntos vendrá entonces dado por:

Área entre curvas aplicando la integral definida

Ejercicio 1:

Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.

Ejercicio 2:
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las coordenadas de x = 2 y x = 8.

Ejercicio 3:

Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x −x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

Ejercicio 4:
Encontrar el área de la región
y=sen x, y= ex, x=0, x= π2
Solución:

A= 0π2ex-sen x dx
A=[ex-cosx ] π20
A=e π2+0-1+1
A=(e π2-2)

Ejercicio 5:Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Ejercicio 6:
Hallar el área de la región R del plano encerrada por el gráfico de la curva de ecuación:
y=cosx, 0≤x≤3 π2
Solución:

área R=3 0π2fxdx=3
Ejercicio...