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Ecuaciones con Radicales
Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones:
Cualquier ra´ız de una ecuaci´on dada, puede ser tambi´en ra´ız de otra ecuaci´on que se obtenga al
igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuaci´on propuesta.
Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuaci´on, se obtienen valores para la inc´ognita que
pueden resultar incorrectospara la ecuaci´on original, tales valores se llaman ra´ıces extra˜nas de la ecuaci´on.
Esto debido a que los radicales de ´ındice par presentan problemas de indefinici´on con subradicales negativos.
Para resolver una ecuaci´on que comprende radicales se efect´uan los siguientes pasos:
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los dem´as t´erminos.
2. Seelevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuaci´on obtenida y se igualan entre si
(depende del ´ındice de la ra´ız involucrada).
3. Si la ecuaci´on obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene
uno o m´as radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuaci´on sin radicales. Luego se
resuelve esta ´ultima ecuaci´on.
4. Sesustituyen en la ecuaci´on original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las
ra´ıces extra˜nas.
El proceso de liberar la ecuaci´on de radicales se conoce con el nombre de racionalizaci´on de la ecuaci´on.
Ejemplo 1.
Resolver:
p
x + 3 = 4
Soluci´on.
(
p
x + 3)2 = (4)2 elevando ambos miembros al cuadrado,
x+3=16 eliminando el radical con el cuadrado,
x=16-3 restando 3 a amboslados de la ecuaci´on,
x=13 posible soluci´on.
www.matebrunca.com Prof. Waldo M´arquez Gonz´alez
Ecuaciones con Radicales 2
Al sustituir x=13 en la ecuaci´on original para chequear si es una ra´ız extra˜na o no, nos
percatamos que
p
13 + 3=4, es correcta. Por tanto.
S = f13g
Ejemplo 2.
Resolver:
p
2x2 􀀀 1 =x
Soluci´on.
(
p
2x2 􀀀 1)2 = (x)2 elevando ambos miembros al cuadrado,
2x2􀀀 1 = x2 eliminando el radical con el cuadrado,
2x2 􀀀 x2 = 1 transponiendo t´erminos,
x2 = 1 restando los coeficientes de los cuadrados
x = 1 posibles 2 soluciones.
Si sustituimos x=􀀀1 en la ecuaci´on original, obtenemos
q
2(􀀀1)2 􀀀 1 = (􀀀1)
Claramente se observa que el miembro derecho de esta ecuaci´on no puede ser negativo, p
1 =􀀀 1. Se descarta 􀀀1 por ser una ra´ız extra˜na y se aceptasolamente x=1.
S = f1g
Ejemplo 3.
Resolver:
p
4x2 􀀀 15 􀀀 2x =-1
Soluci´on.
p
4x2 􀀀 15 =2x-1, despejando el radical en el lado izquierdo
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Ecuaciones con Radicales 3
(
p
4x2 􀀀 15)2 = (2x 􀀀 1)2, elevando ambos miembros al cuadrado,
4x2 􀀀 15 = (2x 􀀀 1)2, eliminando el radical con el cuadrado,
4x2 􀀀 15 = 4x2 􀀀 4x + 1 desarrollando elbinomio de la derecha
􀀀15 = 􀀀4x + 1 cancelando t´erminos a ambos miembros,
4x=1+15 transponiendo t´erminos,
4x=16
x=16
4 pasando a dividir,
x=4 posible soluci´on.
Al sustituir el x=4 en la ecuaci´on original se tiene:
p
4
42 􀀀 15 􀀀 2
4 =-1
p
4
16 􀀀 15 􀀀 8 =-1
p
64 􀀀 15 􀀀 8 =-1
p
49 􀀀 8 =-1
7-8=-1. La cual es correcta, y se toma como soluci´on: S = f4g.
Ejemplo 4.
Resolver:
px + 4 +
p
x 􀀀 1 =5
Soluci´on.
p
x + 4 = 5 􀀀
p
x 􀀀 1 aislando un radical,
(
p
x + 4)2 = (5 􀀀
p
x 􀀀 1)2 elevando al cuadrado,
x + 4 = 25􀀀2
5
p
x 􀀀 1 + (
p
x 􀀀 1)2 desarrollando la segundo f´ormula
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Ecuaciones con Radicales 4
notable,
x + 4 = 25 􀀀 10
p
x 􀀀 1 + x 􀀀 1 haciendo c´alculos
x + 4 􀀀 25 􀀀 x + 1 = 􀀀10
p
x 􀀀 1transponiendo t´erminos,
􀀀20 = 􀀀10
p
x 􀀀 1
20 = 10
p
x 􀀀 1
2 =
p
x 􀀀 1
(2)2 = (
p
x 􀀀 1)2 elevando al cuadrado a ambos lados,
4=x-1
x=5 posible soluci´on de la ecuaci´on.
Comprobando x=5,
p
5 + 4 +
p
5 􀀀 1 =5
Luego, S = f5g
Ejemplo 5.
Resolver:
p
x + 7 +
p
x 􀀀 1 􀀀 2
p
x + 2 =0
Soluci´on.
p
x + 7 +
p
x 􀀀 1 = 2
p
x + 2 transponiendo t´erminos hacia la derecha,
(
p
x...