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Definir hiperplanos
En un espacio unidimensional (como una recta), un hiperplano es un punto; divide una línea en dos líneas. En un espacio bidimensional (como el plano xy), un hiperplano es unarecta; divide el plano en dos mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano corriente; divide el espacio en dos mitades. Este concepto también puede ser aplicado a espacios de cuatrodimensiones y más, donde estos objetos divisores se llaman simplemente hiperplanos, ya que la finalidad de esta nomenclatura es la de relacionar la geometría con el plano.En general, un hiperplano esun espacio afín de codimensión 1. En otras palabras, un hiperplano es un análogo de muchas dimensiones al plano (de dos dimensiones) en el espacio tridimensional.
Un hiperplano afín en un espacion-dimensional puede ser descrito por una ecuación lineal no degenerada con la siguiente forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.
Aquí no degenerada significa que no todas las ai son 0. Si b=0, se obtieneun hiperplano lineal, que pasa a través del origen.
Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano en espacios de n dimensiones son:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b
y
a1x1 + a2x2 + ... +anxn ≥ b.
Definir conjuntos convexos
Los conjuntos convexos son los conjuntos más sencillos que aparecen de forma natural en la algebra . Un conjunto S es convexo si la línea que une dos puntosarbitrarios de ese conjunto, pertenece al conjunto.

Teorema . Si un conjunto convexo está acotado y cerrado, cualquiera de sus puntos puede escribirse como una combinación convexa de sus puntosextremos.

Si x 1 y x 2 son puntos de R n , la recta que pasa por dichos puntos es el sub-
conjunto de R n que forman los puntos z tales que:
z = λ • x 1 + (1 − λ ) • x 2 ; λ ∈R
Por ejemplo, en R 3, la recta "r" que pasa por los puntos x 1 = ( 2 ; 1 ; 0 ) y
x 2 = (1 ; 0 ; 4 ) es el subconjunto de R 3 que forman los puntos z = ( z1 ; z 2 ; z 3 ) ta-
les que:
( z1 ; z 2 ; z 3 ) = λ • ( 2...