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Teorema 1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d.
Examinemos primeramente eL triángulo rectángulo ABC (figura 30). Sus lados a , b , c se exponen, respectivamente, en forma deun segmento de la perpendicular euclidiana a la recta u , de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro M y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro N . El ángulo C esrecto. El ángulo A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Por último, ∠ B = ∠BNM.



Figura 30

Construyamos en el segmento BM , como en el diámetro, la circunferencia euclidiana q ; ésta tiene sólo un punto común B con la circunferencia c , pues su diámetro es elradio de dicha circunferencia. Por esto el punto A se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia q y, por consiguiente,


∠ A = ∠ MAN < ∠ MBN .


De aquí, en virtud de laigualdad ∠ MBN + ∠ B = d , tenemos:


∠ A + ∠ B < d ; (9)


por eso ∠ A + ∠ B + ∠ C < 2 d , que es lo que se quería demostrar. Señalaremos que, con ayuda del correspondiente movimiento hiperbólico,cualquier triángulo rectángulo se puede situar de tal manera que uno de sus catetos pertenezca a la perpendicular euclidiana a la recta u ; de esta manera, el método de deducción de la desigualdad (9)que utilizamos es aplicable a cualquier triángulo rectángulo.
Si se trata de un triángulo oblicuángulo, se divide éste mediante una de sus alturas en dos triángulos rectángulos. La suma de losángulos agudos de estos triángulos rectángulos es igual a la suma de los ángulos del triángulo oblicuángulo dado. De aquí, tomando en consideración la desigualdad (9), se deduce que el teorema es válidopara cualquier triángulo.

Teorema 2 . La suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d.
Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos triángulos....