Integracion en superficies

Variedades Inmersas y Teoremas Cl´sicos de a Integraci´n o
Miguel Paternain - Alfonso Artigue 13 de agosto de 2003

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Cap´ ıtulo 1

Variedades Diferenciables
Primero explicaremos de forma breve las nociones de diferenciabilidad de funciones en Rn , enunciando la Regla de la Cadena y el Teorema de la Funci´n o Inversa, que el lector deber´ conocer de cursos antoriores. Despu´sdefiniremos ıa e las variedades diferenciables y daremos algunos ejemplos. Luego recuperaremos la noci´n de diferenciabilidad en las variedades, para ´sto es necesario definir o e el espacio tangente. Finalmente, para estudiar la integraci´n sobre variedades o en el cap´ ıtulo siguiente, necesitaremos dos conceptos: el de orientaci´n y el de o variedad con borde.

1.1

Funciones Diferenciables

Dados unconjunto abierto U de Rn y una funci´n f : U → Rm , decimos que f o es diferenciable en x ∈ U sii existe una transformaci´n lineal, que llamaremos o diferencial de f en x, dx f : Rn → Rm , tal que f (y) − f (x) = dx f (y − x) + r(y), ∀y ∈ U donde r : U → Rm verifica lim r(y) =0 ||y − x|| (1.1)

y→x

Naturalmente, decimos que f es diferenciable en U , si f es diferenciable en todos los puntos deU . Un hecho importante es que si dicha transformaci´n o ´ lineal existe, ´sta es unica. Esto lo probaremos ahora, al calcular su matriz e ´ asociada en las bases can´nicas de Rn y Rm . Definamos la derivada parcial de o f respecto de xi como ∂f f (x + tei ) − f (x) (x) = lim t→0 ∂xi t 3

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CAP´ ITULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES

donde {e1 , ..., en } es la base can´nica de Rn . Paraabreviar escribiremos a o ∂f veces fxi en lugar de ∂xi . Observemos que si f = (f1 , ..., fn ), entonces ∂f (x) = ∂xi ∂f1 ∂fn (x), ..., (x) ∂xi ∂xi
∂fj ∂xi (x),

1.1 Proposici´n. La entrada (j, i) de dx f es o j = 1, ..., m.

para i = 1, ..., n y

Demostraci´n. Observemos que la columna i-´sima de dx f es dx f (ei ), tomemo e os y = x + tei y al dividir la ecuaci´n (1.1) entre t obtenemos o f(x + tei ) − f (x) r(x + tei ) = dx f (ei ) + t t ya que dx f es lineal, y luego f (x + tei ) − f (x) = dx f (ei ) t ∂f (x) = dx f (ei ) ∂xi 1.2 Definici´n. Diremos que o 1. f es de clase C 0 en U (o f ∈ C o (U )) sii f es continua en U ; 2. f es de clase C r en U (o f ∈ C r (U )), r ≥ 1, sii en U , con ip = 1, ..., n, p = 1, ..., r y j = 1, ..., m;
∂ r fj ∂xi1 ...∂xir

t→0

lim

soncontinuas

3. f es de clase C ∞ en U (o f ∈ C ∞ (U )) sii f es de clase C r para todo r. En adelante diremos que una funci´n es diferenciable cuando es de clase C ∞ . o 1.3 Regla de la cadena. Si f y g son diferenciables en x y f (x), respectivamente, entonces g ◦ f es diferenciable en x y adem´s a dx (g ◦ f ) = df (x) g ◦ dx f El resultado siguiente nos da una manera geom´trica de interpretar al difereencial de una funci´n. o 1.4 Aplicaci´n. Sea f : U ⊂ Rn → Rk una funci´n diferenciable. Entonces o o para todo v ∈ Im(dp f ) existe una curva α : (− , ) → U , > 0, diferenciable d tal que α(0) = p y dt (f ◦ α)|0 = v.

1.1. FUNCIONES DIFERENCIABLES

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Demostraci´n. Sea w ∈ Rn tal que v = dp f (w). Consideremos la curva o α : R → Rn dada por α(t) = tw + p. Esta curva es diferenciable yverifica α(0) = p. Como α es en particular continua existe > 0 tal que α(− , ) ⊂ U . Redefinamos α = α|(− , ) . Luego por la regla de la cadena tenemos lo que quer´ ıamos d (f ◦ α)|0 = dp f (w) = v dt 1.5 Definici´n. Vamos a prescindir ahora de que el dominio sea abierto o para definir que una funci´n sea diferenciable. Tomemos un conjunto A ⊂ Rn y o una funci´n f : A → Rm cualesquiera. Decimos que f esdiferenciable sii para o todo p ∈ A existe F : U → Rm diferenciable, p ∈ U abierto de Rn , tal que F|A∩U = f|A∩U . 1.6 Ejemplo. Sea A ⊂ R2 el eje de las x y f : A → R dada por f (x, 0) = 0. Oservemos primero que f es diferenciable ya que se puede extender a todo el plano como la funci´n nula. Ahora consideremos la siguiente extensi´n de f , o o a todo el plano, dada por g(x, y) = y, que es...