Integracion

INTEGRACIÓN
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre lagráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada.Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [ab] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espaciotridimensional.
FORMALIZACIÓN DE LAS INTEGRALES
Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada porprimera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son Riemann integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral1 basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones deintegral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue.
NOTACIÓN
Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estasnotaciones no fueron ampliamente adoptadas.
La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675. Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires dela Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822. En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .
INTEGRAL DE RIEMANN

La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operaciónconsiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto

INTEGRAL DE LEBESGUE
La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más...