Integracion

RESEÑA HISTÓRICA
En los anteriores capítulos tuviste la oportunidad de conocer a quienes desarrollaron, en occidente, por vez primera, el cálculo diferencial e integral. Newton, Leibniz, L’Hópital y muchos otros sentaron las bases y modelaron este instrumento matemático que revolucionó muchas áreas de la actividad humana como son la ingeniería, la arquitectura, la economía, las ciencias básicas,etc.
Preguntémonos, ahora, si realmente las ideas que aplicaron los pensadores del siglo XVIII d.C. no hicieron su aparición ya hacia veinte siglos antes de la era cristiana. ¿Cémo? Pues, las pirámides de Egipto acusan una perfección que necesariamente hace suponer que sus constructores debían haber conocido ciertas “fórmulas” útiles al cálculo de superficies y volúmenes. Una de ellas,justamente, la fórmula del volumen de una pirámide regular de base cuadrada.

r V = .12 a donde les el lado de la base cuadrada y a la altura de la Pirámid1
[pic]
Veamos cómo, los pobladores de las orillas del Nilo, podrían haber resuelto el problema que representa establecer esa fórmula. Al parecer, ellos, con anterioridad a las pirámides, construyeron unas tumbas mucho más simples, que re llamaban“mastabas” y que tenían la forma de un paralelepípedo rectangular (nombre atroz que se le da a un cuerpo que tiene la misma forma que un ladrillo o una cajita de fósforos). Constatamos, fácilmente, que el volumen de una mastaba es igual al área de su base por su altura:

= l, h,,1 donde 1,,, es el lado de la base cuadrada y u,,, es la altura de la mastaba.
[pic]
Luego, superpusieron una mastabasobre otra, creando, así, pirámides escalonadas (como también, en América, lo hicieron los mayas).

[pic]
Miremos una pirámide escalonada, formada por cinco mastabas, de perfil: [pic]
Todas las mastabas tienen la misma altura, pero pequeños. Al mirar las mastabas en conjunto mastabas se utilicen para construir la pirámide verdadera pirámide. Por ejemplo:
los lados (le SUS bases son caJa vez mástenemos la impresión que cuanto más escalonada, más se parecerá ésta a una verdadera pirámide. Por ejemplo: [pic]
En este caso hemos superpuesto 15 mastabas logrando que nuestra pirámide escalonada tenga la “pinta” de una pirámide “casi” perfecta. Bueno, no es tan bonita como una verdadera pirámide porque se notan las graduas... pero si en vez de 15 mastabas utilizásemos una 150, el parecido conuna pirámide perfecta será mayor: [pic]
Bien, esta constatación nos permitirá establecer la fórmula que nos dé el volumen de una pirámide perfecta, si conocemos la longitud del lado de SU base cuadrada y la altura de la pirámide:
[pic]
EL PROCESO DE INTEGRACIÓN
Pero... ¿Cómo vamos a proceder para establecer esa fórmula, si lo único que hemos hecho es fabricar mastabas, superponer mastabas yaumentar, sin escrúpulos, el número de mastabas superpuestas hasta que estas parezcan hojas de papel en vez de mastabas?... Pues, así:
Primer paso : La subcivkión
- Tomemos una pirámide perfecta y pongárnosla de perfil
- Dividamos su altura en n partes
cada parte, de altura h -, por una mastaba de misma altura. [pic]
Vemos que tenemos n mastabitas (hemos coloreado una de entre ellas) todas dealtura [pic].
El volumen de la mastabita n° k no es muy dificil de calcular, pero tampoco es pan comido:
Observemos, primero, que el triángulo formado por la base de la mastabita no k y la parte superior de la pirámide son semejantes, y que por lo tanto el teorema de Tales de Mileto, nos dice que...
[pic]‘k “k
—— , donde hk (distancia entre la cúspide y e] pie de la mastaba u° k) CS 1 ual a amenos tantas
1 a
veces Ah, (=-), como mastabas hayamos descendido desde la cúspide o cumbre de la
pirámide, es decir: hk =a—kAJi =a—k =a.Ll_j
Por lo tanto, el lado de labase dclii mastaban°kes:/k a •l— Y el volumen de la mastaba n° k es el siguiente: 17k = — .
[pic]
Segundo paso: Ln Suma
Ahora, debemos efectuar la suma de los volúmenes de todas las mastabas. ¿Para qué? Para obtener el...