Integral De Rieman

Integral de Riemann

1. PARTICION DE UN INTERVALO CERRADO
Definición. Sea [a; b] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b] es el conjunto P de puntos x0, x1, x2,…, xn ; con a = x0 < x1 < x2 <… < xn = b. Se denota con P = { x0, x1, x2,…, xn}.

Observación 1

a) Toda partición P de [a; b] divide en “n” subintervalos al intervalo [a; b].
b) Lalongitud de cada subintervalo [xi-1; xi], para i =1,2,…, n, se denota con Δᵢx=xᵢ-xᵢˍ₁ . Se verifica
i=1nΔᵢx=b-a

c) Se llama norma o diámetro de la partición P al numero
P=max{Δᵢx / i = 1,2,…, n}
d) Cuando el intervalo [a; b] se divide en “n” partes iguales, la longitud de cada subintervalo es :
Δx=b-an

2. APROXIMACION DEL AREA DE UNA REGION POR AREAS RECTANGULOS
Sea f :[a; b]→R una función continua y no negativa ( f(x) ≥ 0) en [a; b]. Sea “S” la región plana limitada por las gráficas de y=f(x), las x=a, x=b y el eje X (llamada región bajo la gráfica de f de a hasta b) (fig. 2.1)

Fig. 2.1

Sea P = {x0, x1, x2,…, xn} una partición de [a; b]. Por la continuidad de fen [a; b], podemos elegir un conjunto de puntos u1, u2,…, un , de tal manera que f (ui) sea el valor mínimo de f en [xi-1; xi], con i=1,2,…, n.

Así, construimos “n” rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas respectivas alturas son f (u1), f (u2),…, f (un). Las áreas de estos rectángulos son f(x1)Δ1x , f(x2)Δ2x ,…, f(un)Δnx respectivamente.

Los “n” rectángulosconsiderados forman el llamado polígono rectangular inscrito en “S” (fig. 2.2). El área de este polígono lo denotamos con I (P), es decir.

I(P) =i=1nf(uᵢ)Δᵢx


fig. 2.2 fig. 2.3
De manera similar, elegimos v1, v2,…, vn en los “n” subintervalos de P, de modo que f (vi) es el valor máximo de f en [xi-1; xi], i= 1,2,…, n, yconstruimos los “n” rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas alturas respectivas son f (v1), f (v2),…, f (vn).
El polígono rectangular formado por estos “n” rectángulos está circunscrito a la región ”S” (fig. 2.3) y su área, denotada por C (P), está dada por

C(P)=i=1nf(vᵢ)Δᵢx

Dadas dos particiones P1y P2. Si I(P1) es el área del polígono inscrito y C(P2) es el área del polígono circunscrito, se verifica
I(P1) ≤ C(P2) para toda partición P1 y P2 de [a; b] (1)

Sea L el conjunto de todas las áreas de los polígonos rectangulares inscritos en “S”, es decir,
L = { I(P) / P es partición de [a; b] }

Y U el conjunto de todas las áreas de lospolígonos rectangulares circunscritos a “S”, esto es,
U = {C(P) / P es partición de [a; b] }
Como cada número del conjunto L es menor o igual que cualquier número del conjunto U, entonces L es acotado superiormente y U es acotado inferiormente. Por lo tanto, existen
Ai = sup(L) y As = inf(U)

Por definición de ínfimo y de supremo, severifica
I(P) ≤ Ai ≤ As ≤ C(P), de donde Ai ≤ As
Se demuestra luego con otros conceptos que Ai = As . Luego, se puede definir el área A de la región “S” como Ai = As = A

También se demuestra que si t1, t2,…, tn son puntos elegidos en los “n” subintervalos, es decir, ti ∈ [xi-1; xi], i = 1,2,…, n; entonces

A = limP→∞i=1nf(tᵢ)Δᵢx(2)

Observación 2
a) Considerando la parte (d) de la observación 1 , si cada ti es el extremo derecho de cada subintervalo (ti = a + iΔx, i = 1,2,…,n) y teniendo en cuenta que P → 0 ⟺ n → ∞, entonces (2) puede ser escrito como :

A=limn→∞i=1nf(tᵢ)Δx

Donde Δx =b-an , ti = a + iΔx , i = 1,2,…, n
b) Si cada ti = a + (i - 1)Δx , i =...