Integral








SERIE DE POTENCIA
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:



Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

Llamamos serie de potencias  a todaexpresión  del tipo 



Donde Es decir





 Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentesEJEMPLO
Una serie del tipo:
a0 + a1 x + a2 x
2 + a3 x
3 +K+ an x n +K
Ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes, a0 a1 a2 K an K
Constantes, independientes de x, recibeel nombre de serie de potencias.


A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:
“+ ( )( ) ( ) ( ) − + − + − +K+ − +K n a a x a a x a a x a an x a”
3
3
2
0 1 2
Que este tipo deseries reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente.
Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:
x − a = x'
En lo queconcierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que
Las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.


RADIO DE CONVERGENCIA
Sinos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma, con, recibe el nombre de serie de potencias centrada en.
La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de  queverifica que, donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de  pertenecientes al intervalo  , ya que la convergencia para los extremos deeste ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi-abierto o cerrado. Si la serie converge solo para  . Si lo hace para cualquier valor de,  
El radio deconvergencia de una serie de la forma, con, viene dado por la expresión:



EJEMPLO
La función  en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias , tiene el siguiente aspecto:
.
Su radio...