integrales

Integración

Los antiguos Griegos calculaban el área y volumen de ciertas figuras geométricas por el
método de “agotamiento”, por ejemplo para el caso del circulo inscribían sucesivamente
polígonos (con área conocida) con cada vez mayor número de lados; hasta “ agotar el
área” del circulo y obtener la aproximación requerida.

Este proceso se utilizó en el siglo XVII para definir el áreadel circulo como el limite de una

sucesión infinita de áreas de polígonos con cada vez mayor número de lados.
En símbolos:

A  lim( A1 , A2 , A3 ,..., An )
n 

Esta idea se utilizó para calcular el área bajo la curva de cualquier función:

Dada una función f(x) para calcular el área bajo la curva entre dos puntos, a y b lo que
hago es aproximarme sumando el área de rectángulosinscritos. La aproximación será
mayor si sumó el área de más rectángulos inscritos.

F(x)

Formando rectángulos de base arbitraria
y altura definida por la función, podemos
aproximarnos a el área bajo la curva si
sumamos las áreas de los rectángulos.

a

b

F(x)

Haciendo la base más pequeña, tenemos
más rectángulos, sumando sus áreas la
aproximación a el área bajo la curva es
mejor.a

b

Finalmente el resultado exacto del área bajo la curva entre los puntos a y b se obtendrá
cuando sume el área de un número infinito de rectángulos inscritos. Este resultado es tan
importante que recibe un nombre especial:

El área bajo la función f(x) es la integral de la función entre a y b.
n

En símbolos:

b

A  lim f ( xi )( xi  xi 1 )   f ( x)dx
n  i 1

aQue se lee: “integral desde a hasta b de efe de x de x ”
Date cuenta que lo único que estamos haciendo es sumar el área de un número infinito
de rectángulos con base (xi – xi-1) y altura f(xi )
Calcular estas áreas es muy laborioso y durante muchos años se llevó a cabo, hasta que
se encontró una relación con la derivada por medio de lo que ahora se conoce como el
primer teorema fundamentaldel cálculo (integral definida):
Si se tiene una función g(x) tal que

d
g ( x)  f ( x) entonces:
dx
b

el área bajo la curva f ( x) se obtiene por medio de: A 


a

b

f ( x)dx  g ( x) ( g (b)  g (a))
a

En otras palabras, para calcular el área bajo la curva lo único que tengo que hacer es
buscar una función que al derivarla me de la función original y después evaluarla enlos
extremos.

Si no queremos calcular el área, pero si el valor de la integral, solo busco la función que al
derivarla me de la original y no la evalúo. Esto también es un teorema, se denomina:
El segundo teorema fundamental del cálculo.

Si el resultado de integrar la función f(x) es g(x) :
g(x) es igual a f(x):

 fdx  g ( x) , entonces la derivada de

d
g ( x)  f ( x)
dxNota: algunos textos le llaman a g(x) función primitiva ó antiderivada.

Ejemplo:
2
 x dx 

x3
 cte.
3

Donde cte. = cualquier valor constante.
Esto es cierto ya que

 3x 2
d  x3
 cte  
 0  x2

dx  3
3


Recuerda que la derivada de una constante es cero.
Ejemplo:

x2
c
2
d 4
x2
( x  x3 
 cte)  4 x3  3x 2  x
Esto es cierto ya que
dx
2
3
2
4
3 (4 x  3x  x)dx  x  x 

Como ya te habrás dado cuenta para cuando tengo funciones en forma de potencia, la
integral se obtiene sumando uno al exponente y dividiendo entre lo mismo:

Debido a que:

x

n 1

 Ax dx A n  1  cte. siempre que n  -1
n

 A(n  1) n
d  x n 1
 cte  
x  Ax n
A
dx  n  1
n 1


Nota: Recuerda que si queremos calcular la integraldefinida, tenemos que evaluar en los
limites de integración:

Ejemplo:
En los siguientes ejercicios usa la fórmula de integración de potencias para encontrar el
valor de la integral

1.-

 6x


2

4

2

dx

2.-

 5x dx
2

3.-

4

5

xdx

4.-

0

1

 1

 x x

2

3


 x  dx


1.- Como 6x 2 es una función potencia aplicamos la...