integrales

Integrales – Prof. Verónica Pastor

Integrales
Idea de función primitiva o antiderivada.
Hemos estudiado que si f ( x) = x 2 entonces f ' ( x) = 2 x . Por eso es natural definir a x2
como la antiderivada de 2x; también se la llama primitiva. Pero si f ( x) = x 2 + 2
entonces f ' ( x) = 2 x + 0 = 2 x , y así podríamos seguir con cualquiera de las infinitas
funciones que corresponden a laforma f ( x) = x 2 + k , ∀k ∈ ℜ todas resultan primitivas
de f ' ( x) = 2 x
Estas primitivas tomaron importancia cuando se encontró una aplicación,
sirvieron para calcular el área de una región plana, cuya frontera no está
formada por segmentos rectilíneos.

Sumas de Riemann
Ante el problema de hallar el área de una región plana limitada por la gráfica de una
función f(x) positiva ycontinua, el eje x y las rectas x=a y x=b.
y

a

b

x

Una respuesta geométrica al problema consiste en particionar la región bajo la gráfica
de la función f(x) entre x=a y x=b utilizando un número finito de rectángulos tales que
la suma de sus áreas aproximen el área de la región. Para hacer esto procedemos de la
siguiente manera:
1. Dividimos el intervalo [a,b] en n partes no necesariamentede igual longitud. En
cada subintervalo i elegimos un punto xi* y evalua mos la función en ese punto.
Consideramos el rectángulo Δxi , con altura f ( xi* ) y con base igual a la longitud del
subintervalo Δxi . Calculamos su área de cada rectangulito Ai: Ai = f ( xi* )Δxi

1

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2. Sumamos las áreas de los rectángulos obtenidos y consideramos a ese valorcomo
una aproximación del área buscada: A ≈ A1 + A2 + ... + An
A la suma que formamos con las áreas de los rectángulos se la llama Suma de Riemann
de la función, correspondiente a la partición que elegimos, se nota

n

∑ f (x
i =1

*
i

) Δx i

Comentarios: * el signo ∑ es una manera abreviada de escribir la suma de los n
términos de la forma f ( xi* ) Δx i para cada i, y se debe aque en el alfabeto griego
representa la letra S.
* La suma de Riemann es en honor al matemático George Friedrich
Bernhard Riemann (1826-1866), esta es una buena manera de aproximar el área bajo la
curva de la función f(x), ahora que conocemos el concepto de límite quisiéramos hacer
esos rectangulitos lo más finos posibles ya que así mejoraríamos la aproximación. Esta
idea nos conduceentonces a la necesidad de hacer esa suma de manera continua, es por
eso que el matemático y filósofo alemán Gottfried Lebnitz a finales del siglo XVII se
basó en el símbolo del carácter ſ (S larga), fue una manera de expresar el límite de
una suma, este símbolo se llama integral.
Ejemplo
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f ( x) = x 2 , x ∈ [0,2] y el eje x
mediante elcálculo del límite de las sumas de Riemann:
Primero dividimos [0,2] en 4 subintervalos de igual longitud, es decir ½ y entonces
para cada intervalito se suele tomar el punto medio: x*1=1/4; x*2=3/4; x*3=5/4 y
x*4=7/4
La
4

suma

∑ f (x
i =1

*
i

2

de

Riemann

correspondiente

a

esta

partición

es:

4

)Δx i = ∑ f ( xi* )(1/2) = f(1/4)(1/2 ) + f(3/4)(1/2 ) +f(5/2)(1/2 ) + f(7/4)(1/2 ) =
i =1
2

2

2

⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ 1 ⎛ 5 ⎞ 1 ⎛ 7 ⎞ 1 21
=⎜ ⎟
+⎜ ⎟
+⎜ ⎟
+⎜ ⎟
=
⎝4⎠ 2 ⎝4⎠ 2 ⎝4⎠ 2 ⎝4⎠ 2 8

2

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Si ahora consideramos una partición del intervalo en n subintervalos de igual longitud,
2i
2−0 2
entonces Δx =
y cada xi = 0 + iΔxi = .La n-ésima suma de Riemann es:
=
n
n
n
2
n
n
n
n
2i
8i 2 8 n
8 ⎡ n(n +1)(2n + 1) ⎤
⎛ 2i ⎞ ⎛ 2 ⎞
f ( xi* ) Δx i = ∑ f ( )(2/n) =∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ∑ 3 = 3 ∑ i 2 = 3 ⎢
∑
⎥
6
n
n i =1
n ⎣
⎦
i =1
i =1
i =1 ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
i =1 n
Se les pide un poco de fe en este último paso, ya que este tema será visto en una materia
siguiente; pero lo importante es que tienen una fórmula que depende de n que uds.
podrán verificar que tienen una sucesión de sumas de Riemann que...