Integrales

INTEGRALES
FUNDAMENTOS TEORICOS
Definición de antiderivada
Una función F se denomina antiderivada de la función (f) en un intervalo l si F´(x) = f(x) para todo valor de x en l
Integral definida
La integral definida tiene una interpretación geométrica como el área de una región plana,misma quese define como un nuevo tipo de límite.
Sea f unafunción definida en el intervalo cerrado [a, b].Divida este intervalo en n subintervalos eligiendo cualesquiera n – 1 puntos intermedios entre a y b. sean x0 = a y xn = b, y sean x1, x2, … , xn-1 los puntos intermedio de modo que
x0 <x1 < x2 <….< xn-1< xn
Los puntos x0,x1,x2 , …, xn-1, xn no son necesariamente equidistantes. Sea ∆1x la longitud del primer subintervalo de modo que ∆1x =x1 - x0; sea ∆2x la longitud delsegundo intervalo de modo que ∆2x= x2 - x1; y así sucesivamente de modo que la longitud del i-esimo subintervalo es ∆i x,y
∆ix = xi - xi-1
Al conjunto de estos subintervalos del intervalo [ a,b] se le denomina partición del intervalo [a,b]. Sea ∆ dicha partición.
La partición de ∆ contiene n intervalos. Uno de estos subintervalos es el más largo; sin embargo, puede haber más de uno. La longituddel subintervalo más largo de la partición ∆ se llama norma de la partición y se denota por ||∆||.
Elija un punto en cada subintervalo de la partición ∆: sea w1 el punto elegido en [x0, x1] de modo que x0≤ w1≤ x1. Sea w2 el punto elegido en [x1,x2] de modo que x1≤ w2 ≤ x2 y así sucesivamente, de modo que wi es el punto elegido en [xi - xi-1 ] y xi-1 ≤ w1 ≤xi. Considere:
f (w1) ∆1x + f (w2)∆2x + … + f (wi) ∆ix + … + f (wn) ∆nx
o bien ∑f (wi) ∆ix.
Estaúltimarecibe el nombre de suma de Reimann, en honor al matemático alemán George Friedrich Bernhard Riemann
La aproximación se mejora cada que se divide el intervalo [a,b] en mas subintervalos y cuando se hacen las longitudes de estos subintervalos mucho mas pequeñas. Si las aproximaciones sucesivas pueden hacerse tan próximas a unnumero especifico como se desee, entonces ese numero se denotara por
abfxdx
Y se denominara la integral definida de f desde a hasta b. dicho numero no existe en todos los casos, pero existe, por ejemplo, cuando la función f es continua en [a,b]. cuando abfxdx existe, suvalor es igual al area A bajo la curva. En la notación abfxdx , b se denomina limite superior y a se llama limite inferiro de laintegral definida.
Para cualquier función f en [ a,b ], pueden definirse las sumas de la forma, sin utilizar la nocion de area. Si hay un numero al cual se puedan aproximar tales sumas tanto como se desea, cuando n se vuelve cada vez mas grande y cuando el máximo de laslongitudes ∆kx tiende a 0, entonces ese numero se denota abfxdx y se denomina la integral definida de f en [a,b].
Cuandoabfxdx existe, se diceque f es integrable en [a,b].
Se asume sin verificación que abfxdx existe para cada función f que sea continua en [a,b]. para evaluar abfxdx es suficiente hallar el limite de una secuencia de sumas para las cuales el numero n de subintervalos tiende a infinito y las longitudes máximas de los subintervalos se aproximan a 0.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema estableceque la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. La pendiente de la recta tangente se definió utilizando el cociente ∆y / ∆x (la pendiente de la recta secante). De manera similar el área de la región bajo una curva se definió utilizando el producto ∆y ∆x (el área de un rectángulo). De tal modo, al menos en unaetapa de aproximación primitiva, las operaciones de derivación y de integración definida parecen tener una relación inversa en el mismo sentido en que son operaciones inversas la división y la multiplicación. El teorema fundamental del cálculo establece que los procesos límite (utilizados para definir la derivada y la integral definida) preservan esta relación inversa.

TEOREMA:
Si una...