integrales

ALGUNAS APLICACIONES
BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE
RIEMANN
(ÁREAS, VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN, LONGITUDES DE
ARCO)

Carmen SÁNCHEZ DÍEZ

AREAS PLANAS:
El concepto de integral definida en el sentido de Riemann está indisolublemente
unido al cálculo de un área plana delimitada por segmentos cualesquiera (no
necesariamente rectilíneos).
El área S barrida por una curva continua sobre un intervalo cerrado[a, b] puede
considerarse igual a la suma de las áreas de los rectángulos de base infinitesimal
que pueden ser construidos en dicho intervalo cubriendo el área S:

S=

∞

b

lim ∑ f ( xi ).∆xi = ∫ f ( x).dx
i =1
a
∆xi → 0

1

Área Barrida sobre un intervalo en el eje de abcisas:

b

S = ∫ f ( x).dx
a

Un área cualquiera se obtiene siempre como suma o resta de áreas barridas sobre
un intervalo en eleje de abcisas:

S=

x20

x30

x30

x10

x20

x10

∫ g ( x).dx + ∫ h( x).dx − ∫ f ( x).dx

2

EL ÁREA DEL CIRCULO:

La ecuación de la circunferencia centrada en el origen con radio R: x + y = R
2

2

2

 y = + R 2 − x 2 (sup er )
 y = − R 2 − x 2 (inf er )

De donde, la curva semicircunferencia será: 

La cuarta parte del círculo que ocupa el primer cuadrante del plano (superior
derecha)está dado por la integral:
R

S 1 = ∫ R 2 − x 2 .dx
4

0

por lo que el área total del círculo será cuatro veces dicha área:
R

S circ = 4.∫ R 2 − x 2 .dx
0

podemos resolver la integral mediante el cambio de variables:

x = R.sen t → dx = R. cos t.dt
con lo cual quedará:
1

π

π

2

2

0

0

S circ = 4.∫ R 2 − R 2 .sen 2 t .R. cos t.dt = 4 R 2 ∫ 1 − sen 2 t . cos t.dt =4 R 2 ∫ . cos 2 t.dt =
0

ππ

π

π

2
1 + cos(2t )
1
cos(2t )
4R
π
.dt =4 R 2 ∫ .dt + 4 R 2 ∫
dt = 2 R 2 .t 02 + (
sen(2t ) = 2.R 2 . + 0 = πR 2
2
2
2
4
2
0
0
0
0
2

= 4R 2 ∫

2

2

π

2

S circ = πR 2

3

VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN:
Entendiendo por volumen de revolución el cuerpo tridimensional engendrado por un
área plana que da vueltas alrededor de un eje (eje de simetría del volumen), se
tienen los volúmenes másconocidos:
-

Cono de revolución: lo engendra el área plana que define un triángulo
rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos.
Cilindro de revolución: lo engendra el área plana que define un rectángulo
cuando gira alrededor de uno de sus lados.
Esfera: la engendra un semicírculo cuando gira alrededor del diámetro.

El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continuaf(x) sobre un intervalo dado del eje de abcisas puede considerarse igual a la suma
de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por
cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro
infinitesimal: superficie de la base –circulo de radio f(xi)- por la altura ∆xi, o sea,
está dado por ∏.f(xi)2.∆xi.

V=

∞

b

lim ∑ π . f ( xi ) 2 .∆xi =π .∫ f ( x) 2 .dx
i =1
a
∆xi → 0

4

EL VOLUMEN DEL CONO:

La curva que barre el área del triángulo sobre el intervalo del eje de abcisas es la
hipotenusa del triángulo rectángulo. Si el cono se coloca en la posición de la figura,
es la recta que pasa por los puntos (0,R) y (h,0), siendo R el radio del cono y h su
altura.
Por consiguiente, la ecuación de la curva es y = −

R
x
h

Y el volumenviene dado por la integral

Vcono

2

πR 2
πR 2
 R 
= π ∫  − x  .dx = 2 ∫ x 2 .dx = 2
h
h 0
h 
0
h

h

h

2
 1 2  πR 1 2 1 2
=
. h = πR h
x
 3 
3
h2 3
0

1
Vcono = πR 2 h
3

5

EL VOLUMEN DE LA ESFERA:

Considerando a la esfera centrada en el origen de coordenadas, el volumen se
obtiene de inmediato resolviendo la correspondiente integral. Si integramos entre
los límites 0 y R, resultael volumen de la semiesfera, por lo que, multiplicando por
2 se obtiene el volumen de la esfera completa:

R

Vesfer

R

R

R

R

1
= 2π ∫ y .dx = 2π ∫ ( R − x ).dx =2πR ∫ dx − 2π ∫ x .dx = 2πR .x 0 − 2π . x 3 =
3 0
0
0
0
0
2

2

2

2

2

2

R

2
4
= 2πR 3 − πR 3 = πR 3
3
3

4
Vesfer = πR 3
3

6

EL VOLUMEN DEL CILINDRO:

Un cilindro de radio R y altura h es engendrado por el área de un...