Interporlacion de Newton

Interpolación de Newton
Diferencias Finitas hacia adelante
Considere una función
definida en forma tabular, para la que se desconoce la
expresión analítica; además, supondremos que las abscisasde los datos tienen igual separación
con un tamaño de intervalo constante :

De la tabulación anterior definimos las -ésimas diferencias finitas hacia adelante:

(I)
donde:

Si

, definimoslas primeras diferencias finitas hacia adelante como:

(II)
Si

, definimos las segundas diferencias finitas hacia adelante como:

(III)
Para
Para
para

de (II) tenemos:
de (II) tenemos:de (III) tenemos:

sustituyendo en

tenemos:

Para

de (II) tenemos:

para

de (III) tenemos:

para

y

sustituyendo en
sustituyendo en

de (I) tenemos:
tenemos:
tenemos:Del desarrollo anterior y usando la notación siguiente, podemos expresar la función como:

si desarrollamos el binomio de la expresión anterior se tiene que:

Nota: Los símbolos
,
, etc., sedenominan coeficientes binomiales y se leen coeficiente
binomial 1 de k, coeficiente binomial 2 de k, etc.
Interpolación con incrementos constantes hacia adelante
Sea la función
definida por unatabla de diferencias finitas hacia adelante, el
problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función
para un valor de
incluido entre dos valores consecutivos
. Un primer intentoconsiste en admitir que
la función
se aproxima a un polinomio
de grado , que pasa por todos los puntos que
define la función:

Si de la expresión:

le asignamos un valor cualquiera, menor que
ysi las -ésimas diferencias finitas hacia
adelante son constantes, entonces todas las diferencias finitas de orden superior a serán cero,
quedándonos en consecuencia:

Pero en la expresión anteriorel coeficiente binomial

es igual a:

y es un polinomio en

de grado , por lo que

tendrá la forma:

Finalmente si reconsideramos la tabulación

y observamos que:

Sustituyendo este...