intro superficie

La integral de superficie

Problemas resueltos
1. Calcule el área de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está
comprendida entre los planos z = 0 y z = 1.
Solución:
La intersección del paraboloide con el plano z = 0 es el punto (0, 0) y con
el plano z = 1 es la circunferencia x2 + y 2 = 1. La región limitada por la
proyección de dicha circunferencia sobre el plano XY es
D = (x, y )∈ R2 :

x2 + y 2 ≤ 1 .

Podemos considerar la siguiente parametrización:
r(x, y ) = (x, y, x2 + y 2 ),

(x, y ) ∈ D.

De esta manera S = r(D), siendo S la superficie descrita en el enunciado. Su
producto vectorial fundamental es:
N (x, y ) = (−2x, −2y, 1),

y

N (x, y ) =

4x2 + 4y 2 + 1.

El área solicitada será:
a(S ) =

4x2 + 4y 2 + 1 dxdy.

N (x, y ) dxdy =
D

DProblemas resueltos
Esta integral la haremos mediante un cambio de variable a coordenadas polares.
x = ρ cos ϕ
y = ρ sen ϕ

con

0 0.

1

D

= 2π

2π

4x2 + 4y 2 + 1 dxdy =

a(S ) =

4ρ2 + 1 ρ dϕ dρ =
0

12
(4ρ2 + 1)3/2
83

1

=
0

0

π√
(5 5 − 1).
6

2. Parametrize la superficie plana cuyo borde es la curva
C:

x2 + y 2 = z 2 /2
z =y+1

Solución:

Lacurva C es la intersección del cono x2 + y 2 = z 2 /2 con el plano z = y + 1 :

1
1
x2 + y 2 = (y + 1)2 = (y 2 + 2y + 1)
2
2
→

x2 +

→

1
1
x2 + y 2 − 2y − = 0
2
2

(y − 1)2
=1
2

→

La integral de superficie
Es una elipse en el plano z = y + 1. Su proyección sobre el plano XY es
(y − 1)2
la curva γ de ecuación x2 +
= 1 (una elipse, también). Sea S la
2
superficiedel plano z = y + 1 limitada por C ; se puede parametrizar como

r(x, y ) = (x, y, y + 1),

(x, y ) ∈ D =

(x, y ) ∈ R2 :

x2 +

(y − 1)2
≤1 .
2

3. Calcule la integral
x2 z dS ,
S

siendo S la superficie externa de x2 + y 2 = a2 comprendida entre z = 2 y
z = −2.
Solución:

La superficie es un cilindro circular recto. Puesto que x2 + y 2 = a2 y z está
entre −2 y 2 consideraremosla siguiente parametrización:

x = a cos u 

→ r(u, v ) = (a cos u, a senu, v ), (u, v ) ∈ D = [0, 2π ]×[−2, 2]
y = a senu


z=v
Calculemos el producto vectorial fundamental:
∂r
(u, v ) = (−a senu, a cos u, 0),
∂u

∂r
(u, v ) = (0, 0, 1)
∂v

Problemas resueltos

N (u, v ) =

∂r
∂r
(u, v ) ×
(u, v ) =
∂u
∂v

ı

k
−a senu a cos u 0
0
0
1

= (a cos u, asenu, 0);

N =a
x2 zdS =
D

S

2π

a3 v cos2 u dudv = a3
0
2π

= a3

cos2 u

0

v2
2

2

v cos2 u dv du =

−2

2

du = 0.
−2

4. Calcule el área de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada
por encima del plano z = 0 y limitada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ax.
Solución:

Hemos de parametrizar la superficie de la cual hay que hallar el área, estoes,
la hoja superior (pues z ≥ 0) del cono x2 + y 2 = z 2 . Como S es la gráfica de
la función z = x2 + y 2 = f (x, y ) sobre la región D (que queda definida por
la intersección del cono y la esfera)
x2 + y 2 = z 2
x2 + y 2 + z 2 = 2ax
D=

→

2(x2 + y 2 ) = 2ax

→

a
a2
(x, y ) ∈ R2 : (x − )2 + y 2 ≤
2
4

a
a2
(x − )2 + y 2 =
2
4

La integral de superficie
entonces S = r(D)siendo r la parametrización:
r(x, y ) = (x, y,

x2 + y 2 ),

∀(x, y ) ∈ D.

El producto vectorial fundamental es:
N (x, y ) = (−

∂f
∂f
(x, y ), − (x, y ), 1) =
∂x
∂y
N (x, y ) =

−x
x2

+

y2

,

−y
x2 + y 2

,1 ,

√
2.

y el área pedida vale:
a(S ) =

N (x, y ) dxdy =
D

D

√
√
√ a2
2 dxdy = 2 µ(D) = 2 π .
4

5. Dado el recinto limitado por losplanos z = y , z = 0 y el cilindro
= a2 . Calcule el área de la porción de superficie cilíndrica comprendida
entre los dos planos.
x2 + y 2

Solución:

En el cilindro x2 + y 2 = a2 podemos tomar la parametrización:

x = a cos u 

→ r(u, v ) = (a cos u, a senu, v ), (u, v ) ∈ D
y = a senu


z=v

Problemas resueltos
siendo
D = (u, v ) ∈ R2 : 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ asenu
De esta...