Introducción al algegra

UNIDAD I: TEORIA DE CONJUNTOS
Teoría que fue desarrollada por Boole y Cantor a fines del siglo XIX, ha tenido una profunda influencia en el desarrollo de la Matemática en el siglo xx. Ha contribuido a reducir gran número de conceptos matemáticos a sus fundamentos lógicos por un método elegante y sistemático.
En Matemáticas, la palabra «conjunto» se emplea para representar una colección deobjetos considerada como una sola entidad. Las colecciones designadas con nombres tales como rebaño, tribu, muchedumbre, equipo y electorado son todos ejemplos de conjunto. Los objetos que constituyen la colección se llaman elementos o miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen o que están contenidos en el conjunto.

1.1. EL LENGUAJE DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS.
Puede entenderse de dosmaneras distintas: como lenguaje formal y como abreviaturas de expresiones.
Los conectivos, que son los símbolos que representan a las interrelaciones entre los elementos del sistema.
Ejemplos de conectivos son:
1.- Ser o Pertenecer [ € ] que es el que establece la relación pertenencia de un elemento a un conjunto.
2.- Negación [ / ] que es el que establece la relación de negación de lapertenencia de un elemento a un conjunto.
3.- Simultaneidad [ ^ ] que es el que establece la relación doble de pertenencia de un elemento a dos conjuntos.
4.- Para Todo [∀] que es el que establece la relación de inclusión de conjuntos. También es equivalente a la definición de existencia de un elemento de un conjunto. O sea que el conjunto es no vacío.
Los símbolos de puntuación que son eltercer tipo de símbolos de un Lenguaje cuyo objeto es propio del mismo lenguaje para la construcción expresiones de forma de cadenas, árboles o estructuras más complejas de símbolos como por ejemplo redes. Los símbolos de puntuación y su empleo más común en la teoría de conjuntos y en matemática en general son los siguientes:
Símbolos de puntuación:
Símbolo | Empleo usual |
. | Fin deexpresión |
,; | Separador de elementos o partes de expresión |
: | Tal que |
.. | Desde hasta |
… | Desde hasta |
( ) [ ] { } | Secuencia de lectura (u operación) |
:= | Asignación |
| Secuencia dentro de un árbol |

Entre otras funciones se emplean en:
1. Asignaciones de símbolos nuevos (definiciones)
2. Separar cadenas
3. Fijar ordenar de secuencias en lascadenas. Por ejemplo los paréntesis.
4. Dar las bifurcaciones en un árbol. Por ejemplo las flechas.
Cada uno de ellos va acompañado por un axioma o regla de armado, que indica como se emplea el símbolo en las expresiones compuestas, incluyendo los símbolos de puntuación pertinentes. Son las reglas de la gramática del lenguaje.
El primer concepto fundamental que relaciona un conjunto con otro esla igualdad de conjuntos:
IGUALDAD DE CONJUNTOS. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales (o idénticos) si constan exactamente de los mismos elementos, en cuyo caso se escribe A =B. Si uno de los conjuntos contiene algún elemento que no está en el otro, decimos que los conjuntos son distintos y escribimos A≠B
Con estos signos básicos se generan todas las fórmulas de la teoría de conjuntos.Las reglas de formación de fórmulas son las habituales en la lógica de primer orden.
Igualdad (Axioma de extensionalidad). ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B
“Si todo elemento lo es de A si y sólo si lo es también de B entonces A y
B coincide

1.1.1. RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN
Se introduce el conectivo € con la expresión (relación de símbolos) símbolo básico ser o pertenecer: Reglasde uso:
Se representa un Elemento x que pertenece a un Conjunto A.
x € A
x : Elemento del Conjunto
€ Conectivo de Pertenencia o Ser
A : Conjunto

1. Los objetos que se conectan con el conectivo ser [€] son el elemento y el Conjunto, esto significa que estos conceptos se crean simultáneamente.
2. Una segunda forma de representar la pertenencia es por la expresión:
A :=...