Introduccion Al Trabajo

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES


Área entre una función y el eje de abscisas


1. La función es positiva

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Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:


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Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:


1º Secalculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.


2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.



2. La función es negativa

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Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas.El área de la función viene dada por un viene dada por:


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3. La función toma valores positivos y negativos

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En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:


1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 yresolviendo la ecuación.


2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.


3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.



Área comprendida entre dos funciones

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El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encimamenos el área de la función que está situada por debajo.


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Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:


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Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), eleje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.


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La integral definida se representa por [pic].


∫ es el signo de integración.


a límite inferior de la integración.


b límite superior de la integración.


f(x) es el integrando o función a integrar.


dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de lafunción que se integra.






















Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.


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2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.


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3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], laintegral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].


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4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·


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5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.


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Funciónintegral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:


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que depende del límite superior de integración.


Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.


Geométricamentela función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.


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A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].


Ejercicios de integrales definidas


1 [pic]


RESULTADO…. [pic]


2 [pic]


RESULTADO….[pic][pic]...