isaac barrow

Aportaciones de la historia de las matemáticas a la educación moderna.
M. Kindt
Freudenthal Instituut, Universidad de Utrecht (Holanda)
El desarrollo de las matemáticas no avanzó de manera tan fluida como sugieren los libros de
texto.
Las matemáticas como producto acabado son muy distintas de las matemáticas en su
gestación. Casi siempre las ideas y los conceptos matemáticos son enseñados comorequisitos
canónicos y casi nunca se plantea la pregunta: ¿ Por que de tal manera? o ¿ Cómo se llega a
estas cosas?
Cuando alguna vez un problema es resuelto, el método de la solución llega a ser la teoría,
que los profesores enseñan sin referencia al origen de la cuestión. Con Freudenthal se puede
hablar de ‘inversión anti-didáctica’. En este conferencia quiero exponer con ejemplos
concretos,especialmente tomados del calculo infinitesimal y del álgebra, que existe otro
camino de aprendizaje, que puede ser inspirando y instructivo para los estudiantes y,
además, que muestra que las matemáticas son obra humana.
Un descubrimiento geométrico de Isaac Barrow.
Isaac Barrow (1630 - 1677), el profesor de otro Isaac, es decir Newton, fue el primero en
reconocer la relación milagrosa entre losconceptos ‘tangente (de una curva)’ y ‘área’.
Escribió un libro sobre geometría (‘Geometric Lectures’) con un montón de dibujos, casi dos
por pagina de texto.
Voy a concentrarme en uno, que he adaptado un poco para esta conferencia:
Explicación de la figura

1

1

F

a

F*
K

a*
V

D*

T
y*

Z

L
D

a − a*

y

E*
E

Demostración:

– La curva ZE *E representa una función
monótona.
– La cur va V F*Frepresenta el área en
cerrada entre el eje horizontal, la curva
ZE*E , y las verticales DE y VZ. Esta es
claramente una función de la abscisa
de D.
Es decir: los longitudes a* y a repre
sentan respectivamente las áreas de
VD*E*Z y VDEZ.
– El punto T es constr uido de tal modo
que la longitud del segmento DT es
igual al cociente de FD y ED
Entonces:
FD
a
DT = -------- = --ED
y

Afirmación:
La linea TFes una tangente de la curva
VF*F

Supón que K es un punto de TF entre T y F.
Por demostrar: K es un punto a la derecha de la curva VF*F.
Por la construcción de T vale:
FL
FD
-------- = --------- = DE = y
LK
DT

entonces

FL = LK ⋅ y

... (I)
De otro lado: FL = a a* = área VDEZ área VD*E*Z = área D*DEE* < D*D y ... (II) ,
¡ya que la curva ZE*E representa una función monótona!
De (I) y (II) sesigue LK < D*D, y entonces LK < LF*
Así sabemos que K es a la derecha de la curva VF*F
Si prolongamos la recta TF, podemos demostrar de modo análogo que cada punto de la parte
prolongado está a la derecha de VF*F.
Entonces todos puntos de la recta, excepto F, están a la derecha de la curva y eso significa
que TF es el tangente de la curva en F.
C.Q.D.
Esta es, en versión reformulada, la demostracióngeometríca que Barrow dio del .... teorema
fundamental del Calculo Infinitesimal. Pero él no tuvo ningún conocimiento de esta rama de
las matemáticas, ¡ya que no fue inventada en esa epoca! Además su enfoque no mostró
ninguna vislumbre del enfoque infinitesimal.
.¿ Qué nos aprende este fragmento de la obra de Barrow?
1. El principio del teorema fundamental del Análisis Matemático es visto antes lainvención
del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.
2. Los raíces del cálculo infinitesimal están en la geometría.
3. El contraste entre geometría y análisis es menos fuerte que muchos matemáticos piensen;
mejor es hablar sobre una diferencia de enfoques.
4. El enfoque geométrico - que es más intuitivo que el enfoque analítico - es subexpuesto en
la enseñanza del análisis.
En el mundo haymillones estudiantes que deben aprender análisis matemático.
¿Cuántas estudiantes saben algo del enfoque geométrico de Barrow?
¿Sea aconsejable enseñar cosas de la epoca ‘pre-cálculo’ , como la prueba admirable de
Barrow?
Claro que son preguntas retóricas.
En este conferencia quiero presentar unos ejemplos históricos que podrían servir como punto
de salida de un capitulo de álgebra o análisis, o...