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Departamento de Matemtica Notas para el curso de Fundamentos de la Matemtica CONGRUENCIAS NUMRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA 1. RECORDANDO CONCEPTOS La congruencia es una relacin en el conjunto de los nmeros enteros que se define a partir de la divisibilidad dados los enteros a, b y el natural n (distinto de cero y de uno), definimos EMBED Equation.3 . Una condicin necesaria y suficientepara la congruencia es que las divisiones enteras de a y b entre m den restos iguales (vean la demostracin hecha en clase). De esto se deduce que la congruencia es una relacin de equivalencia en Z (aunque se puede demostrar usando slo la definicin, como lo hicimos en clase). Por ser de equivalencia, la congruencia determina una particin de Z (revisen el concepto y propiedades de conjunto cociente,que estudiamos cuando vimos relaciones de equivalencia). A los elementos de este conjunto cociente los llamamos clases residuales en alusin a la condicin necesaria y suficiente de congruencia. Tambin se deduce fcilmente que en el conjunto cociente Z/( hay tantas clases como lo indica el mdulo de la congruencia (una clase por cada resto posible en la divisin por el mdulo m es decir desde 0 hastam-1) EMBED Equation.3 Notacin al elemento EMBED Equation.3 (clase de x) lo denotaremos con el smbolo EMBED Equation.3 y al conjunto Z/( lo designamos con Zm. ARITMTICA DE LAS CLASES RESIDUALES Se trata ahora de dotar al conjunto Zm de estructura algebraica como siempre, esto se hace definiendo en l ciertas operaciones, de cuyas propiedades depender la estructura resultante. SUMA EN Zm. Def.EMBED Equation.3 Observen que la definicin de suma de clases remite a la definicin de suma de nmeros enteros (a rigor, el smbolo de que aparece en el primer miembro es el que corresponde a la suma de clases residuales (suma en Zm.) mientras que el del segundo miembro es el de la suma de nmeros enteros (suma en Z) y por lo tanto deberamos usar smbolos distintos para ambas operaciones algunosautores usan y EMBED Equation.3 respectivamente, pero si se est atento a estos hechos, no es necesario usar smbolos distintos. Esta forma de definir la suma permite suponer que la suma en Zm. debe heredar las propiedades de la suma en Z. En efecto eso ocurre (vean las demostraciones hechas en clase) por lo que el par ordenado (Zm., ) tiene estructura de grupo abeliano (se los llama abelianos alos grupos en que la operacin que los define es conmutativa) b) PRODUCTO EN Zm. Def. EMBED Equation.3 Valen aqu las mismas consideraciones que hicimos para la suma en Z/(, pero una rpida inspeccin en las tablas de multiplicar respecto de algunos mdulos nos muestran algo novedoso veamos por ejemplo las tablas de la multiplicacin mdulos 2, 3 y 5 EMBED Equation.3 Qu podemos observar en estastablas. Lo primero que llama la atencin es la simetra respecto de la diagonal que empieza en el extremo superior izquierdo. Esa simetra no es ms que la consecuencia de la propiedad conmutativa. Del mismo modo, que hay una fila y una columna de ceros es consecuencia de que la clase del cero se comporta en el producto de clases igual que el cero en el producto de nmeros enteros. Tambin se observaque el uno es neutro ya que la fila (o columna) del uno repite la fila (o columna) inicial. Pero hay algo novedoso en estas tablas observen que en cada fila (o columna), salvo la del cero, hay un uno. qu significa esto Significa que dado a (a(0), existe b tal que axb1, o lo que es lo mismo, cada clase residual distinta de la nula tiene inverso. Esto no ocurre en la multiplicacin en Z, as quehemos obtenido una estructura en cierto sentido ms rica que (Z,,x). Qu tienen de particular los mdulos 2, 3, 5 Son nmeros primos, pero ser esa la razn de tan particular comportamiento Veamos una tabla de multiplicar en la que el mdulo sea compuesto por ej. Z4 Se observa en esta tabla que el 2 no tiene inverso, pues el 1 (neutro multiplicativo) no aparece como resultado en la tabla del 2 (fila...