jacovianos

SOBRE LAS APLICACIONES DE Rn EN Rm

UTILIZANDO EL
JACOBIANO

Carmen SÁNCHEZ DÍEZ
Estudiamos aquí las condiciones básicas de diferenciabilidad de las funciones definidas desde Rn en Rm.
Para ello usaremos la matriz jacobiana constituida por las derivadas parciales de las funciones
componentes de la aplicación dada, y las propiedades de su determinante, el jacobiano.

r
f = ( f1 ,..., fm )

Consideraremos las funciones
en R:

definidas de Rn en Rm, en donde las fi son funciones de Rn

r
r
∀x ∈ S ⊆ R n , f i ( x ) = yi ∈ R. Es decir, si es S ⊆ R n

el dominio de la función

r
f:

r r
r
r
r
r
∀x ∈ S , f ( x ) = ( f1 ,..., f m )( x ) = ( f1 ( x ),..., f m ( x ) ) = ( y1 ,..., y m ) ∈ R m

1. Diferenciabilidad:

Definición de diferenciabilidad:

r
r
r
f: R n → R m es diferenciable en x si existe una función Df ( x ) : R n → R m ,
r
r
llamaremos diferencial de f en x , que verifica las dos condiciones siguientes:

La función

a)

r
Df ( x ) : R n → R m

que

es una aplicación lineal:

(

)

r
r
r
r r
r r
r r
∀a , b ∈ R n , ∀λa , λb ∈ R, Df ( x ) λa a + λb b = λa .Df ( x )(a ) + λb Df ( x )(b )
b)

Existe una funciónr
r r
E ( x;α ) : R n → R m , definida en un entorno N (x )

r r r
r r
r
r r
r r
f ( x + α ) = f ( x ) + Df ( x )(α ) + α .E ( x;α ),

siendo

r

de

r
x

tal que :

r r
lim E ( x;α ) = 0

α →0
o, equivalentemente:

r

lim

α →0
Con la notación

r
r
f ∈ D en x

r r r
r r
r r
f ( x + α ) − f ( x ) − Df ( x )(α )
=0
r

α

indicaremos que la funciónr
r
f es diferenciable en x .
1

Definición de diferenciabilidad con continuidad:

r
f : Rn → Rm

La función

es diferenciable con continuidad en

r
x = ( x1 ,..., x n ) ∈ R n

si existen y son

continuas las derivadas parciales

r
∂f i ( x )
r
, i = 1,...m, k = 1,..., n .
Dk f i ( x ) =
∂x k
Denotaremos esto así:

r
r
f ∈ C 1 en x.

Teorema 1:
La funciónfunciones

r
r
f : R n → R m es diferenciable en x

si, y solo si, existen las diferenciales de cada una de las

fi : R → R .
n

Demostración:
Se trata de probar que

r
r
f ∈ D en x ⇔ f i ∈ D, i = 1,..., m . Para probar la equivalencia probemos las

dos implicaciones de contrario sentido:
a)

r
r
f ∈ D en x ⇒ f i ∈ D, i = 1,..., m :

se tiene que

r r r
r r
r r r
r
r
rf ( x + α ) − f ( x ) − Df ( x )(α )
f ∈ D en x ⇒ lim
= 0, para α → 0
r

α

y siendo

r r r
r r
r r r
r r
r
r r
f i ( x + α ) − f i ( x ) − Df i ( x )(α ) f ( x + α ) − f ( x ) − Df ( x )(α )
≤
∧
r
r

α

α

r r r
r r
r r r
r
f ( x + α ) − f ( x ) − Df ( x )(α )
∧ lim
= 0, para α → 0
r

α

se deduce que es

r r
r
r r
f i ( x + α ) − f i ( x ) − Df i ( x)(α )
r
lim
= 0, i = 1,..., m, para α → 0
r

α

con lo cual

b)

f i ∈ D, i = 1,..., m

r
r
f i ∈ D, i = 1,..., m ⇒ f ∈ D en x :

2

r r
r
r r
f i ( x + α ) − f i ( x) − Dfi ( x )(α )
r
f i ∈ D, i = 1,..., m ⇒ lim
= 0, i = 1,..., m, para α → 0
r

α

con lo cual será, para

r

α → 0:

r r r
r r
r r r
f ( x + α ) − f ( x ) − Df ( x )(α )
=
lim
r

α

r rr
r r
r r
r
r r
r

f ( x + α ) − f1 ( x ) − Df1 ( x )(α )
f m ( x + α ) − f m ( x ) − Df m ( x )(α ) 
(
)
=  lim 1
=
=
,...,
lim
0
,...,
0
0
r
r

α
α


y en definitiva es

r
r
f ∈ D en x

f i ∈ D, i = 1,..., m son diferenciables, pueden expresarse,
r
∂f i ( x )
r
, i = 1,...m, k = 1,..., n en la forma:
Dk f i ( x ) =
∂x k

Si las funcionesparciales

usando las derivadas

r
r
r
Df i ( x ) = D1 f i ( x ).dx1 + ... + Dn f i ( x ).dx n
o bien

con lo cual, la diferencial de

r
r
∂f i ( x )
∂f i ( x )
r
Df i ( x ) =
.dx1 + ... +
.dx n
∂x n
∂x1
r n
m
la función f : R → R , también diferenciable

por el anterior teorema,

vendría expresada matricialmente por

r
 ∂f 1 ( x )
r
 Df 1 ( x )   ∂x
1

 
r r...