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MATEMATICA II
MATRIZ: Se llama matriz a un cuadro de valores cuyos elementos se disponen en m filas y n columnas. Los elementos que se consideran en las matrices serán números reales.

ORDEN: Indica la cantidad de filas y columnas que tiene una matriz.

EXPRESION SIMBOLICA DE UNA MATRIZ:





El subíndice “ij” indica la posición de cada elemento, o sea el elemento se ubica en la fila“i”, columna “j”

CLASIFICACION DE MATRICES:

MATRIZ RECTANGULAR: m n

MATRIZ CUADRADA: m=n

MATRIZ FILA O VECTOR FILA: m=1 EJ: (3; 1;-5)

MATRIZ COLUMNA O VECTOR COLUMNA: n=1 EJ:

MATRIZ NULA: (N) Aij=0

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Aij=0 SI I>J: es una matriz cuadrada donde todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son iguales a 0. EJEMPLO:





MATRIZTRIANGULAR INFERIOR Aij=0 SI I>J

MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son iguales a 0. Aij=0 i j. EJEMPLO:





MATRIZ ESCALAR: Es una matriz diagonal en el cual todos los elementos situados sobre la diagonal principal son iguales a un escalar k=un numero real. Aij= k si i=j0 si i j EJEMPLO:





MATRIZ IDENTIDAD (I) EJEMPLO:





MATRIZ SIMETRICA: Aij=Aij EJEMPLO:





MATRIZ ANTISIMETRICA: Aij= -Aij EJEMPLO:





OPERACIONES ENTRE MATRICES:

SUMA: Se puede realizar únicamente cuando las matrices dadas a sumar tienen igual orden.

La suma entre matrices da por rdo otra matriz del mismo orden que las dadas a sumar ycada elemento se obtiene sumando los elementos homónimos.

Simbólicamente:



EJEMPLO:





PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES:

ASOCIATIVA:

CONMUTATIVA:

EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO(N):

EXISTENCIA DE OPUESTO (-A):



RESTA: Para restarle a una matriz “A” otra matriz “B” es equivalente sumarle a la matriz “A” la opuesta de “B”.



EJEMPLO:



MULTIPLICACION DE Kx UNA MATRIZ:

EJEMPLO:



PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE K x MATRIZ:

DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES:



DISRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES:



ASOCIATIVA MIXTA:



EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO:



MULTIPLICACION ENTRE MATRICES: Para multiplicar matrices se debe cumplir que la cantidad de columnas de la primera matriz sea igual a lacantidad de filas de la segunda matriz.

Al multiplicar una matriz “A” x otra matriz “B” se obtendrá una matriz “C” que tendrá tantas filas como la primera matriz dada a multiplicar y tantas columnas como la 2° matriz cada elemento de la matriz producto (C) se obtiene mediante el producto punto que consiste en la multiplicación de líneas.

EJEMPLO: Amxn.Bnxp=Cmxp



PROPIEDADES ENTRE LAMULTIPLICACION ENTRE MATRICES:

ASOCIATIVA:

ASOCIATIVA MIXTA:

DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES:

EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO:



TRANSPOSICION DE MATRICES: Dada una matriz, su transpuesta será la matriz que resulta de permutar las filas por las columnas:

PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION DE MATRICES:

INVOLUCION:

TRANSPUESTA DE LA SUMA DE MATRICES:

TRANSPUETA DE kPOR MATRIZ:

TRANSPUESTA DEL PRODUCTO ENTRE MATRICES:



MATRIZ INVERSA: Es una matriz cuadrada si existe tal que multiplicada por la matriz dada en cualquiera de los sentidos da como resultado la matriz identidad:

OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS:

-Permutar filas por columnas.

-Multiplicar los elementos de una fila por un k distinto a 0.

-Sumar una fila con otra fila.-Combinar las operaciones, anteriores.

MATRIZ EQUIVALENTE: Es la matriz que resulta de aplicar las operaciones elementales entre filas a una matriz dada.

PERMUTACION: Llamamos así a cada una de las distintas formas en que se puede ordenar un conj de elemento. EJEMPLO:







INVERSION: Dado un conj de elementos dentro de los n° naturales y una permutación cualquiera diremos que 2...