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1
1.
1.1.

ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS
VECTORIALES

Denición 1. (Espacio vectorial)

Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un
cuerpo K, o K-espacio vectorial, si en él se han denido dos operaciones,
una interna y otra externa, llamadas respectivamente suma y producto por
un escalar que pasamos a describir.
La suma de doselementos (o vectores) u, v ∈ V da lugar a otro elemento
de V , que denotamos u + v , y que tiene las propiedades:
(S1) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀u, v, w ∈ V .
(S2) Conmutativa: u + v = v + u ∀u, v ∈ V .
(S3) Existencia de elemento neutro: ∃¯ ∈ V tal que ¯
0
0+v = v + ¯ = v ∀v ∈ V
0
(S4) Existencia de elemento opuesto: ∀v ∈ V existe otro vector −v ∈ V tal
que v + (−v) = ¯.
0
Elproducto de un escalar, o elemento del cuerpo K, por un vector da
lugar a otro elemento de V , y tiene las propiedades:
(M1) a(u+v) = au+av para todo a ∈ K y para todo par de vectores u, v ∈ V .
(M2) (a + b)u = au + bu para todo par de escalares a, b ∈ K y para todo
u∈V.
(M3) a(bu) = (ab)u para todo u ∈ V y a, b ∈ K.
(M4) 1u = u para todo u ∈ V , donde 1 es la unidad para el producto en K.Las primeras cuatro propiedades hacen referencia a la suma de vectores
y se resumen diciendo que (V, +) es un grupo conmutativo.
Trabajaremos habitualmente con el cuerpo K = R, si bien todos los
resultados que se obtienen en este capítulo son válidos en cualquier cuerpo
K.

Observación 1. De las propiedades enunciadas se deducen las siguientes:
1. 0u = ¯,
0
2. a¯ = ¯,
0 0
4. (−a)u =a(−u) = −(au).

3. Si au = ¯, entonces a = 0 ó u = ¯,
0
0

Denición 2. (Subespacio vectorial)

Un subconjunto W del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de
V si cumple:
i) W es cerrado para la suma: si u, v ∈ W , entonces u + v ∈ W .

2

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ESPACIOS VECTORIALES

ii) W es cerrado para el producto por escalares: si u ∈ W y a ∈ K,
entonces au ∈ W .
Estas dos condiciones sepueden resumir en una escribiendo:
iii) au + bv ∈ W para todo u, v ∈ W y a, b ∈ K.

Observación 2.
W.

1. Si W es un subespacio vectorial de V , entonces ¯ ∈
0

2. Todo subespacio vectorial W de V tiene asimismo estructura de espacio
vectorial con las mismas operaciones que V .

Denición 3. (Combinación lineal)

Diremos que un vector v ∈ V es combinación lineal de la familia S =
{v1, . . . , vm } ⊂ V si v = a1 v1 +· · ·+am vm con ai ∈ K para todo i = 1, . . . , m.
Sea S un subconjunto del espacio vectorial V y sea L(S) el conjunto
formado por todas las combinaciones lineales de elementos de S :
L(S) = {a1 v1 + · · · + am vm tal que m ∈ N, vi ∈ S, ai ∈ K, i = 1, . . . , m}

Al conjunto L(S) se le llama envolvente lineal de S o subespacio generado
por S y es el menorsubespacio vectorial de V que contiene al conjunto S ,
esto es, si S ⊂ W , con W un subespacio vectorial de V , entonces L(S) ⊂ W .
1.2.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES

Denición 4. (Dependencia e independencia lineal)

Sea V un K-espacio vectorial y sean v1 . . . , vm ∈ V . Se dice que la familia de vectores S = {v1 , . . . , vm } es linealmente dependiente si existen
a1 , . .. , am ∈ K, no todos nulos, tales que:
a1 v1 + a2 v2 + · · · + am vm = ¯
0

o, dicho de otro modo, si existe un vector vi ∈ S que se puede poner como
combinación lineal del resto.
Se dice que el conjunto de vectores S = {v1 , . . . , vm } es linealmente independiente si no es linealmente dependiente, esto es, de ser cierta la igualdad
a1 v1 + a2 v2 + · · · + am vm = ¯
0,

entonces a1 = ·· · = am = 0. Esto equivale a decir que ningún vector de S se
puede poner como combinación lineal del resto.

Observación 3.
v1 = ¯.
0

1. {v1 } es l.i. (linealmente independiente) si y sólo si

1.2

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES

3

2. Si {v1 , . . . , vm } es l.d. (linealmente dependiente), entonces
{v1 , . . . , vm , vm+1 , . . . , vm+r }

también es l.d.....