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1 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
1.1. Modelo matemático
Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida
real.
La formulación de un modelo matemático implica:
Identicar las variables causantes del cambio de un sistema.
Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas aplicables).
Las hipótesis de unsistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más
variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones
donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

1.2. Proceso de modelado
El proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos:
1. Identicación de variables estableciendo una notación matemática.
2.Leyes empíricas que se pueden aplicar.
3. Planteamiento de las ecuaciones.

1.3. Ejemplos de formulación de modelos
1.3.1. Fusión
Se considera una esfera de hielo que se derrite a razón proporcional al área de su supercie.
Hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.
1. Variables:
La incógnita del problema: volumen (es función del tiempo).
Notaciónmatemática:

V : volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del tiempo, es decir, es
función del tiempo.
2. Leyes empíricas que se pueden aplicar:
En los datos: La esfera se derrite a razón proporcional al área de su supercie , es
decir, el volumen de la esfera varía a razón proporcional al área de su supercie .
La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo:Expresión de la ley en forma matemática:

dV
.
dt

dV
= k 4πr2 ,
dt

r es el radio de la esfera, r = r(t).

2

3. Planteamiento de la ecuación:
Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V :

V =

4 3
πr →
3

3V
4π

1/3

= r.

Sustituyendo:

dV
3V
= k4π
dt
4π

2/3

1/3 2/3

= k(4π)

3

V 2/3 .

Ecuación diferencial que proporciona el volumen encualquier tiempo t.

1.3.2. Reacciones químicas
En cinética de las reacciones, en lo que se está interesado es en la evolución de éstas con el
transcurso del tiempo. Como las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es de
extrañar que la cinética de las reacciones se modelen mediante ecuaciones diferenciales. Un
ejemplo de tales reacciones son las reacciones bimoleculares.
Sea lareacción bimolecular elemental

A + B → P,
en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una
expresión para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo.
1. Variables.
Las incógnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones del
tiempo): [A], [B], [P ].
2. Leyes empíricas que se pueden aplicar:
Lavelocidad de reacción depende de las concentración de los reactantes y quizás del
producto. La ley de la velocidad de reacción es la formulación de esa dependencia:

velocidad =

d[P ]
d[A]
d[B]
=−
=−
dt
dt
dt

Para las reacciones elementales existe un principio básico, la ley de acción de masas: la
velocidad de una reacción elemental es proporcional al producto de las concentraciones
delos reactantes:

velocidad = k[A][B]
La ley de acción de masas está basada en la suposición de que reacciones elementales
ocurren cuando las moléculas de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por
tanto, a mayor concentración, mayor velocidad.
El coeciente k es la constante de la reacción y se toma siempre positiva.
Por último la ley de conservación: la suma de lasconcentraciones de los productos y de
cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reacción.

[B] + [P ] = B0 + P0
[A] + [P ] = A0 + P0 ,
A0 , B0 , P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los componentes.
3

3. Planteamiento de la ecuación.
Igualando velocidades:

d[A]
= −k[A][B]
dt
d[B]
= −k[A][B]
dt
d[P ]
= k[A][B].
dt
Por último, aplicando la ley de...