Ji cuadrada

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA

Instituto Tecnológico de Morelia Ingeniería Bioquímica Probabilidad y Estadística

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AGENDA
Antecedentes históricos ……………………2 min  ¿Qué debo de saber? ………………………...1 min  Objetivo …………………………………………2 min  Definición ……………………………………….3 min  Metodología …………………………………. 20 min  Aplicación del ejercicio …………………...30 min  Conclusiones………………………………….2 min
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ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Ronald Fisher, uso por primera vez el término de varianza.  Abraham DeMoivre , desarrollo una expresión para la curva normal.  En 1900 Karl Pearson (1857-1936) desarrolla la prueba de Chi-cuadrado.
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¿QUÉ DEBO DE SABER ANTES DE UTILIZAR JI - CUADRADA ?
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Distribución normal Medidas de tendencia central

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OBJETIVO
Saber utilizar ji-cuadrada para las pruebas de hipótesis además la solución de problemas y tomas de decisiones.  Saber utilizar las tablas de la distribución jicuadrada.
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DEFINICIÓN
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Una variable JI cuadrado se define como la suma de n variables normales estandarizadas elevadas al cuadrado. (1) Para poder estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, necesitamos conocer el estadístico ji-cuadrada con �� = ���� (grados de libertad)(2)

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Y se puede denotar de las siguientes maneras :

�� 2 =

���� �� 2

�� 2 =

��−�� �� 2��2

Walpole , cap 5 -pg173, (1) Weimer , cap9 , pg 441 (2)

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FÓRMULA

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DESARROLLO DE LA FORMULA
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Se toma una población normal una muestra aleatoria de tamaño �� con media �� y varianza �� 2 donde se utiliza el estadístico

(��−1)�� 2 �� 2
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�� ��=1(������ (���� = ��=1 ��2 (��−1)�� 2 2  �� = ��2

�� 2 ��=1(���� −��) ��2

− ��)2 = = = =
=

�� 2 ��=1[ ���� − �� + �� − �� ] �� �� �� 2 2 ��=1(���� − �� ) + ��=1(�� − ��) +2(�� − ��) ��=1 ���� − �� �� �� �� 2 ��=1(���� − �� ) + ��=1 �� − �� + 2(�� − ��) ��=1(���� − ��) �� 2 ��=1(���� − �� ) �� 2 ��=1(���� −�� ) ��2 ��−1 �� 2 ��2

−��)2

Basado en:
Walpole , probabilidad y estadisticapara ingenieros , cap 6 , pag 223

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CONCLUSIÓN DE LA FÓRMULA
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Si �� 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal que tiene varianza sigma cuadrada , entonces el estadístico.

(�� − 1)�� 2 �� 2 = �� 2
Tiene una distribución ji-cuadrada con �� = �� − 1 grados de libertad
Walpole , probabilidad yestadistica para ingenieros , cap 6 , pag 223

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PROPIEDADES
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Los valores de ji cuadrada son mayores o iguales que 0. La forma de una distribución ji cuadrada depende del ���� (grados de libertad)=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones ji-cuadrada. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontales 1. Las distribuciones ji cuadrada no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. Cuando n>2, la media de una distribución ji cuadrada es n-1 y la varianza es 2(n-1). El valor modal de una distribución ji cuadrada se da en el valor (n-3).

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TABLA (VALORESCRÍTICOS DE LA
DISTRIBUCIÓN JI

– CUADRADA)

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INTERVALOS DE CONFIANZA
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Límites del intervalo de confianza 1 − �� ∙ 100% de confianza para �� 2 :

��1 =

(��−1)�� 2 �� 2 �� 2 (����)

��2 =

(��−1)�� 2 �� 2 1−�� 2 (����)

Donde �� es el tamaño de la muestra y �� 2 es la varianza muestral.
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Intervalo de confianza...